Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die ''y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.
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		+	Addieren wir einen Vielfaches von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
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		+	wobei ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.
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		+	Hinweis: Schreiben wir
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}
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		+	heißt dies, dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, also für die Winkel
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		+	{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{array}{llll}
		+	&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]
		+	&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots
		+	\end{array}</math>}}

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Aktuelle Version

Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die y-Koordinate \displaystyle \sqrt{3}/2 haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi.

Im ersten Quadranten wissen wir, dass \displaystyle x = \pi/3 den Sinus \displaystyle \sqrt{3}/2 hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der y-Achse denselben Sinus, also ist \displaystyle x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3 auch eine Lösung.

Addieren wir einen Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,

wobei n eine beliebige ganze Zahl ist.

Hinweis: Schreiben wir

\displaystyle x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}

heißt dies, dass die Gleichung für jedes n erfüllt ist, also für die Winkel

\displaystyle \begin{array}{llll} &n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt] &n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt] &n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt] &n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt] &\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots \end{array}