Lösung 4.4:1g

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Aktuelle Version (11:40, 25. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Replaced figures with metapost figures)
 
Zeile 1: Zeile 1:
Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.
Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.
-
[[Image:4_4_1_g1.gif|center]]
+
<center>{{:4.4.1g - Solution - Two unit circles with angles v satisfying tan v = -1/√3}}</center>
Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:
Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:
-
[[Image:4_4_1_g2.gif|center]]
+
<center>{{:4.4.1g - Solution - The unit circle with an angle in the fourth quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
-
[[Image:4_4_1_g3.gif|center]]
+
<center>{{:4.4.1g - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}</center>
Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir
Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

Aktuelle Version

Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden \displaystyle y=(-1/\!\sqrt{3})x, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens \displaystyle -1/\!\sqrt{3} beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung \displaystyle \tan v = -1/\!\sqrt{3} erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.

[Image]

Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:

[Image]

Wir benennen die Ankathete \displaystyle x und nachdem \displaystyle \tan v=-1/\!\sqrt{3}, ist die Länge der Gegenkathete \displaystyle x/\!\sqrt{3}.

[Image]

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2

Diese Gleichung hat die positive Lösung \displaystyle x = \sqrt{3}/2, also haben wir

\displaystyle \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Damit ist \displaystyle \alpha = \pi/6. Nachdem der Winkel \displaystyle v das Komplement des Winkels \displaystyle \alpha ist, ist \displaystyle v

\displaystyle v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir \displaystyle \pi von \displaystyle v, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:

\displaystyle v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:1g“