Processing Math: Done

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 08:57, 22. Okt. 2008 (bearbeiten) Tekbot (Diskussion | Beiträge) K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (11:40, 25. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Tek (Diskussion | Beiträge) (Replaced figures with metapost figures)
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	A quick sketch of the unit circle and the line <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, which corresponds to the tangent value <math>-1/\!\sqrt{3}</math> shows that there are two angles which satisfy <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math>. One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant.	+	Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.
-	[[Image:4_4_1_g1.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.1g - Solution - Two unit circles with angles v satisfying tan v = -1/√3}}</center>
-	We can therefore limit ourselves to the fourth quadrant and draw an auxiliary triangle in order to determine the angle there.	+	Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:
-	[[Image:4_4_1_g2.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.1g - Solution - The unit circle with an angle in the fourth quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
-	If we call <math>x</math> the side adjacent to the angle <math>\alpha</math> then the fact that <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math> gives the length of the opposite side as <math>x/\!\sqrt{3}</math>.	+	Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
-	[[Image:4_4_1_g3.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.1g - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}</center>
-	The Pythagorean theorem gives	+	Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}
-	and this equation has the solution <math>x = \sqrt{3}/2</math>, which means that	+	Diese Gleichung hat die positive Lösung <math>x = \sqrt{3}/2</math>, also haben wir
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.</math>}}
-	i.e. <math>\alpha = \pi/6</math>. Because the angle <math>v</math> in the fourth quadrant is the complement of <math>\alpha</math> the angle <math>v</math> is given by	+	Damit ist <math>\alpha = \pi/6</math>. Nachdem der Winkel <math>v</math> das Komplement des Winkels <math>\alpha</math> ist, ist <math>v</math>
	{{Abgesetzte Formel||<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}
-	If we subtract half a turn, <math>\pi</math>, we obtain the other angle	+	Subtrahieren wir <math>\pi</math> von <math>v</math>, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:
	{{Abgesetzte Formel||<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}

---

Aktuelle Version

Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden y=(−13)x , was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens −13  beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung tanv=−13  erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.

Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:

Wir benennen die Ankathete x und nachdem tanv=−13 , ist die Länge der Gegenkathete x3 .

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

x2+x32=12

Diese Gleichung hat die positive Lösung x=32 , also haben wir

cos=132=23

Damit ist =6. Nachdem der Winkel v das Komplement des Winkels ist, ist v

v=2−=2−6=611.

Subtrahieren wir von v, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:

v=611−=65.