Processing Math: Done
To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.
jsMath

Lösung 4.3:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
Aktuelle Version (10:45, 25. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Replaced figure with metapost figure)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 3 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
Using the formula for double angles on <math>\sin 160^{\circ}</math> gives
+
Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für <math>\sin 160^{\circ}</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
-
On the right-hand side, we see that the factor <math>\cos 80^{\circ}</math> has appeared, and if we use the formula for double angles on the second factor (<math>\sin 80^{\circ}</math>),
+
Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor <math>\sin 80^{\circ}</math>, nachdem wir den Faktor <math>\cos 80^{\circ}</math> behalten möchten:
-
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\sin 80^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\sin 40^{\circ}\,.</math>}}
-
we obtain a further factor <math>\cos 40^{\circ}</math>. A final application of the formula for double angles on <math>\sin 40^{\circ }</math> gives us all three cosine factors,
+
Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor <math>\sin 40^{\circ}</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot\sin 40^{\circ} = 2\cos 80^{\circ}\cdot 2\cos 40^{\circ}\cdot 2\cos 20^{\circ}\sin 20^{\circ}\,\textrm{·}</math>}}
-
We have thus succeeded in showing that
+
Also haben wir gezeigt, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 160^{\circ} = 8\cos 80^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ}\cdot\sin 20^{\circ}</math>}}
-
which can also be written as
+
Anders geschrieben:
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 80^{\circ}\cdot\cos 40^{\circ}\cdot \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}\,\textrm{.}</math>}}
-
[[Image:4_3_9.gif||right]]
+
<center>{{:4.3.9 - Solution - The unit circle with angles 20° and 160°}}</center>
-
If we draw the unit circle, we see that <math>160^{\circ}</math> makes an angle of
+
 
-
<math>20^{\circ}</math> with the negative ''x''-axis, and therefore the angles
+
Zeichnen wir den Winkel <math>160^{\circ}</math> im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe ''y''-Koordinate wie der Winkel <math>20^{\circ}</math> hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir
-
<math>20^{\circ}</math> and <math>160^{\circ}</math> have the same ''y''-coordinate in the unit circle, i.e.
+
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
<center><math>\sin 20^{\circ} = \sin 160^{\circ}\,\textrm{.}</math></center>
-
This shows that
+
Damit haben wir die Gleichung
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>
<center><math>\cos 80^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 20^{\circ} = \frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}} = \frac{1}{8}\,\textrm{.}</math></center>

Aktuelle Version

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion für sin160

sin160=2cos80sin80.

Wir verwenden jetzt die Doppelwinkelfunktion für den Faktor sin80, nachdem wir den Faktor cos80 behalten möchten:

2cos80sin80=2cos802cos40sin40

Wir verwenden noch einmal die Doppelwinkelfunktion, dieses Mal für den Faktor sin40

2cos802cos40sin40=2cos802cos402cos20sin20·

Also haben wir gezeigt, dass

sin160=8cos80cos40cos20sin20

Anders geschrieben:

cos80cos40cos20=sin1608sin20.

[Image]

Zeichnen wir den Winkel 160 im Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel dieselbe y-Koordinate wie der Winkel 20 hat und daher denselben Sinus. Also erhalten wir

sin20=sin160.

Damit haben wir die Gleichung

cos80cos40cos20=sin1608sin20=81.
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.3:9“