Lösung 4.3:6c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Because the angle <math>v</math> satisfies <math>\pi \le v\le 3\pi/2\,</math>, <math>v</math> belongs to the third quadrant in the unit circle. Furthermore, <math>\tan v = 3</math> gives that the line which corresponds to the angle
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Nachdem der Winkel <math>\pi \le v\le 3\pi/2\,</math> erfüllt, liegt <math>v</math> im dritten Quadrant auf dem Einheitskreis. Weiterhin ist <math>\tan v = 3</math> und die Steigung der Geraden mit den Winkel <math>v</math> ist also 3.
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<math>v</math> has slope 3.
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[[Image:4_3_6_c1.gif|center]]
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<center>{{:4.3.6c - Solution - The unit circle with angle v}}</center>
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In the third quadrant, we can introduce a right-angled triangle in which the hypotenuse is 1 and the sides have a 3:1 ratio.
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Wir zeichnen ein Dreieck im dritten Quadrant, mit dem Verhältnis 3:1 zwischen Höhe und Breite.
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[[Image:4_3_6_c2.gif|center]]
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<center>{{:4.3.6c - Solution - The unit circle with angle v in the third quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
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If we now use the Pythagorean theorem on the triangle, we see that the horizontal side ''a'' satisfies
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Auf Grund des Satzes des Pythagoras erfüllt ''a'' die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>a^2 + (3a)^2 = 1^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^2 + (3a)^2 = 1^2</math>}}
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was uns <math>10a^{2}=1</math> gibt, also <math>a = 1/\!\sqrt{10}\,\textrm{.}</math>
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which gives us that <math>10a^{2}=1</math> i.e. <math>a = 1/\!\sqrt{10}\,\textrm{.}</math>
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Die ''x''-Koordinate zum Winkel ''v'' ist <math>-1/\!\sqrt{10}</math> und die ''y''-Koordinate <math>-3/\!\sqrt{10}</math>. Also haben wir
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Thus, the angle ''v'''s ''x''-coordinate is <math>-1/\!\sqrt{10}</math> and ''y''-coordinate is <math>-3/\!\sqrt{10}</math>, i.e.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Aktuelle Version

Nachdem der Winkel \displaystyle \pi \le v\le 3\pi/2\, erfüllt, liegt \displaystyle v im dritten Quadrant auf dem Einheitskreis. Weiterhin ist \displaystyle \tan v = 3 und die Steigung der Geraden mit den Winkel \displaystyle v ist also 3.

[Image]

Wir zeichnen ein Dreieck im dritten Quadrant, mit dem Verhältnis 3:1 zwischen Höhe und Breite.

[Image]

Auf Grund des Satzes des Pythagoras erfüllt a die Gleichung

\displaystyle a^2 + (3a)^2 = 1^2

was uns \displaystyle 10a^{2}=1 gibt, also \displaystyle a = 1/\!\sqrt{10}\,\textrm{.}

Die x-Koordinate zum Winkel v ist \displaystyle -1/\!\sqrt{10} und die y-Koordinate \displaystyle -3/\!\sqrt{10}. Also haben wir

\displaystyle \begin{align}

\cos v &= -\frac{1}{\sqrt{10}}\,,\\[5pt] \sin v &= -\frac{3}{\sqrt{10}}\,\textrm{.} \end{align}

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