Lösung 4.3:5

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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An often-used technique to calculate <math>\cos v</math> and <math>\tan v</math>, given the sine value of an acute angle, is to draw the angle <math>v</math> in a right-angled triangle which has two sides arranged so that <math>\sin v = 5/7\,</math>.
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Nachdem ''v'' ein spitzer Winkel ist, können wir diesen in ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, bei dem <math>\sin v = 5/7\</math> ist.
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[[Image:4_3_5_1.gif|center]]
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<center>{{:4.3.5 - Solution - A right triangle with angle v and sides 5 and 7}}</center>
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Using the Pythagorean theorem, we can determine the length of the third side in the triangle.
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Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir die Länge der unbekannten Seite des Dreiecks:
{| align="center"
{| align="center"
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||[[Image:4_3_5_2.gif]]
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||{{:4.3.5 - Solution - A right triangle with angle v and sides x, 5 and 7}}
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||<math>\begin{align}&x^2 + 5^2 = 7^2\\[5pt] &\text{which gives that}\\[5pt] &x = \sqrt{7^2-5^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\end{align}</math>
+
|width="20px"|&nbsp;
 +
||<math>\begin{align}&x^2 + 5^2 = 7^2\\[5pt] &\text{und wir erhalten}\\[5pt] &x = \sqrt{7^2-5^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\end{align}</math>
|}
|}
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Then, using the definition of cosine and tangent,
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Durch die Definitionen von Kosinus und Tangens erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 16: Zeile 17:
\tan v &= \frac{5}{x} = \frac{5}{2\sqrt{6}}\,\textrm{.}
\tan v &= \frac{5}{x} = \frac{5}{2\sqrt{6}}\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Note: The right-angled triangle that we use is just a tool and has nothing to do with the triangle that is referred to in the question.
 

Aktuelle Version

Nachdem v ein spitzer Winkel ist, können wir diesen in ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, bei dem \displaystyle \sin v = 5/7\ ist.

[Image]

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir die Länge der unbekannten Seite des Dreiecks:

[Image]

  \displaystyle \begin{align}&x^2 + 5^2 = 7^2\\[5pt] &\text{und wir erhalten}\\[5pt] &x = \sqrt{7^2-5^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\end{align}

Durch die Definitionen von Kosinus und Tangens erhalten wir

\displaystyle \begin{align}

\cos v &= \frac{x}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\,,\\[5pt] \tan v &= \frac{5}{x} = \frac{5}{2\sqrt{6}}\,\textrm{.} \end{align}

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