Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	{{NAVCONTENT_START}}	+	Von den vorigen Übungen haben wir folgendes
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-	<center> [[Image:1_1_5c-2(2).gif]] </center>	+	<math>\begin{align}
-	{{NAVCONTENT_STOP}}	+	& \frac{1}{2}=0{,}5 \\
		+	& \\
		+	& \frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}=0{,}666... \\
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		+	Also haben wir <math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}</math>.
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		+	Da es relativ umständlich ist
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		+	und
		+	<math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen
		+	<math>{5}/{8}\;</math>
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		+	mit
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		+	<math>{5}/{8}\;</math>
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		+	und
		+	<math>{2}/{3}\;</math>
		+	zu vergleichen.
		+
		+	* Dies ergibt
		+	<math>\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}</math> ,
		+	also
		+	<math>\frac{1}{2}<\frac{5}{8}</math>
		+	.
		+
		+	* und
		+	<math>\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}=\frac{24}{40}</math>
		+	und
		+	<math>\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{25}{40}</math>
		+	, also
		+	<math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>.
		+
		+	* und schließlich
		+	<math>\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{16}{24}</math>
		+	und
		+	<math>\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{15}{24}</math>, also
		+	<math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>.
		+
		+	Also haben wir
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		+
		+
		+	Jetzt vergleichen wir
		+	<math>{21}/{34}\;</math>
		+	mit
		+	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\;</math> und <math>{2}/{3}\;</math> dies ergibt
		+
		+	* <math>\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 17}{2\cdot 17}=\frac{17}{34}</math>, also <math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math>
		+
		+	* <math>\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 34}{5\cdot 34}=\frac{102}{170}</math> und <math>\frac{21}{34}=\frac{21\cdot 5}{34\cdot 5}=\frac{105}{170}</math>, also <math>\frac{3}{5}<\frac{21}{34}</math>.
		+
		+	* <math>\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 17}{8\cdot 17}=\frac{85}{136}</math> und <math>\frac{21}{34}=\frac{21\cdot 4}{34\cdot 4}=\frac{84}{136}</math>, also <math>\frac{21}{34}<\frac{5}{8}</math>.
		+
		+	Zusammen bekommen wir schließlich
		+
		+	<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>.

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Aktuelle Version

Von den vorigen Übungen haben wir folgendes

\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0{,}5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}=0{,}666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\cdot \frac{1}{5}=3\cdot 0{,}2=0{,}6 \\ \end{align}

\displaystyle

Also haben wir \displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}.

Da es relativ umständlich ist \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\;. Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.

• Dies ergibt

\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8} , also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .

• und

\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}=\frac{24}{40} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{25}{40} , also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.

• und schließlich

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{16}{24} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{15}{24}, also \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.

Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;

Jetzt vergleichen wir \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\; und \displaystyle {2}/{3}\; dies ergibt

• \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 17}{2\cdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}

• \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\cdot 34}{5\cdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\cdot 5}{34\cdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.

• \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 17}{8\cdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\cdot 4}{34\cdot 4}=\frac{84}{136}, also \displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.

Zusammen bekommen wir schließlich

\displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.