Lösung 4.2:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we extend the line AB to a point D opposite C, we will get the right-angled triangle shown below, where the distance ''x'' between C and D is the desired distance.
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Wenn wir die Gerade AB zu einen Punkt D verlängern, der gegenüber von C liegt, bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck wie im unteren Bild, wobei der Abstand ''x'' der gesuchte Wert ist.
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[[Image:4_2_7_1.gif|center]]
+
<center>{{:4.2.7 - Solution - The river and triangle ADC}}</center>
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The information in the exercise can be summarized by considering the two triangles ACD and BCD, and setting up relations for the tangents that the angles 30° and 45° gives rise to,
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Wir betrachten die zwei Dreiecke ACD und BCD und den Tangens für deren Winkel 30° und 45°
{| align="center"
{| align="center"
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|align="center"|[[Image:4_2_7_2-1.gif]]
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|align="center"|{{:4.2.7 - Solution - The triangle ADC}}
|width="20px"|&nbsp;
|width="20px"|&nbsp;
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|align="center"|[[Image:4_2_7_2-2.gif]]
+
|align="center"|{{:4.2.7 - Solution - The triangle BDC}}
|-
|-
|align="center" valign="top"|<math>\begin{align} x &= (10+y)\tan 30^{\circ}\\[5pt] &= (10+y)\frac{1}{\sqrt{3}}\end{align}</math>
|align="center" valign="top"|<math>\begin{align} x &= (10+y)\tan 30^{\circ}\\[5pt] &= (10+y)\frac{1}{\sqrt{3}}\end{align}</math>
||
||
-
|align="center" valign="top"|<math>\begin{align} x &= y\cdot\tan 45^{\circ}\\[5pt] &= y\cdot 1\end{align}</math>
+
|align="center" valign="top"|<math>\begin{align} x &= y\cdot\tan 45^{\circ}\\[5pt] &= y\cdot 1\,.\end{align}</math>
|}
|}
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where ''y'' is the distance between B and D.
+
''y'' seit der Abstand zwischen B und D.
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The second relation above gives that <math>y=x</math> and substituting this into the first relation gives
+
Die zweite Gleichung ergibt <math>y=x</math>. Dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x = (10+x)\frac{1}{\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = (10+x)\frac{1}{\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}
-
Multiplying both sides by <math>\sqrt{3}</math> gives
+
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\sqrt{3}</math> und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{3}x=10+x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{3}x=10+x</math>}}
-
moving all the ''x''-terms to the left-hand side gives
+
Wir schreiben alle ''x''-Terme auf einer Seite:
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{3}-1)x = 10\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{3}-1)x = 10\,\textrm{.}</math>}}
-
The answer is
+
Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{10}{\sqrt{3}-1}\ \text{m}\approx 13\textrm{.}6\ \text{m.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{10}{\sqrt{3}-1}\ \text{m}\approx 13\textrm{.}6\ \text{m.}</math>}}

Aktuelle Version

Wenn wir die Gerade AB zu einen Punkt D verlängern, der gegenüber von C liegt, bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck wie im unteren Bild, wobei der Abstand x der gesuchte Wert ist.

[Image]

Wir betrachten die zwei Dreiecke ACD und BCD und den Tangens für deren Winkel 30° und 45°

[Image]

 

[Image]

\displaystyle \begin{align} x &= (10+y)\tan 30^{\circ}\\[5pt] &= (10+y)\frac{1}{\sqrt{3}}\end{align} \displaystyle \begin{align} x &= y\cdot\tan 45^{\circ}\\[5pt] &= y\cdot 1\,.\end{align}

y seit der Abstand zwischen B und D.

Die zweite Gleichung ergibt \displaystyle y=x. Dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt

\displaystyle x = (10+x)\frac{1}{\sqrt{3}}\,\textrm{.}

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle \sqrt{3} und erhalten

\displaystyle \sqrt{3}x=10+x

Wir schreiben alle x-Terme auf einer Seite:

\displaystyle (\sqrt{3}-1)x = 10\,\textrm{.}

Also haben wir

\displaystyle x = \frac{10}{\sqrt{3}-1}\ \text{m}\approx 13\textrm{.}6\ \text{m.}
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