Lösung 4.2:7

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-
If extend the line
+
Wenn wir die Gerade AB zu einen Punkt D verlängern, der gegenüber von C liegt, bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck wie im unteren Bild, wobei der Abstand ''x'' der gesuchte Wert ist.
-
<math>\text{AB}</math>
+
-
to a point
+
-
<math>\text{D}</math>
+
-
opposite
+
-
<math>\text{C}</math>, we will get the right-angled triangle shown below, where the distance
+
-
<math>x</math>
+
-
between
+
-
<math>\text{C}</math>
+
-
and
+
-
<math>\text{D}</math>
+
-
is the desired distance.
+
 +
<center>{{:4.2.7 - Solution - The river and triangle ADC}}</center>
-
[[Image:4_2_7_1.gif|center]]
+
Wir betrachten die zwei Dreiecke ACD und BCD und den Tangens für deren Winkel 30° und 45°
-
The information in the exercise can be summarized by considering the two triangles
+
{| align="center"
-
<math>\text{ACD}</math>
+
|align="center"|{{:4.2.7 - Solution - The triangle ADC}}
-
and
+
|width="20px"|&nbsp;
-
<math>\text{BCD}</math>, and setting up relations for the tangents that the angles
+
|align="center"|{{:4.2.7 - Solution - The triangle BDC}}
-
<math>\text{3}0^{\circ }</math>
+
|-
-
and
+
|align="center" valign="top"|<math>\begin{align} x &= (10+y)\tan 30^{\circ}\\[5pt] &= (10+y)\frac{1}{\sqrt{3}}\end{align}</math>
-
<math>\text{45}^{\circ }</math>
+
||
-
gives rise to,
+
|align="center" valign="top"|<math>\begin{align} x &= y\cdot\tan 45^{\circ}\\[5pt] &= y\cdot 1\,.\end{align}</math>
 +
|}
 +
''y'' seit der Abstand zwischen B und D.
-
[[Image:4_2_7_2.gif|center]]
+
Die zweite Gleichung ergibt <math>y=x</math>. Dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt
-
<math>x=\left( 100+y \right)\tan 30^{\circ }=\left( 100+y \right)\frac{1}{\sqrt{3}}</math> <math>x=y\centerdot \tan 45^{\circ }=y\centerdot 1</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = (10+x)\frac{1}{\sqrt{3}}\,\textrm{.}</math>}}
 +
Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\sqrt{3}</math> und erhalten
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{3}x=10+x</math>}}
-
where
+
Wir schreiben alle ''x''-Terme auf einer Seite:
-
<math>y</math>
+
-
is the distance between B and D.
+
-
The second relation above gives that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{3}-1)x = 10\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>y=x</math>
+
-
and substituting this into the first relation gives
+
 +
Also haben wir
-
<math>x=\left( 100+x \right)\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{10}{\sqrt{3}-1}\ \text{m}\approx 13\textrm{.}6\ \text{m.}</math>}}
-
 
+
-
 
+
-
Multiplying both sides by
+
-
<math>\sqrt{3}</math>
+
-
gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\sqrt{3}x=100+x</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
moving all the x-terms to the left-hand side gives
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>\left( \sqrt{3}-1 \right)x=100</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
The answer is
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\frac{100}{\sqrt{3}-1}\ \text{m}\quad \approx \quad \text{136}\text{.6}\ \text{m}</math>
+

Aktuelle Version

Wenn wir die Gerade AB zu einen Punkt D verlängern, der gegenüber von C liegt, bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck wie im unteren Bild, wobei der Abstand x der gesuchte Wert ist.

[Image]

Wir betrachten die zwei Dreiecke ACD und BCD und den Tangens für deren Winkel 30° und 45°

[Image]

 

[Image]

\displaystyle \begin{align} x &= (10+y)\tan 30^{\circ}\\[5pt] &= (10+y)\frac{1}{\sqrt{3}}\end{align} \displaystyle \begin{align} x &= y\cdot\tan 45^{\circ}\\[5pt] &= y\cdot 1\,.\end{align}

y seit der Abstand zwischen B und D.

Die zweite Gleichung ergibt \displaystyle y=x. Dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt

\displaystyle x = (10+x)\frac{1}{\sqrt{3}}\,\textrm{.}

Wir multiplizieren beide Seiten mit \displaystyle \sqrt{3} und erhalten

\displaystyle \sqrt{3}x=10+x

Wir schreiben alle x-Terme auf einer Seite:

\displaystyle (\sqrt{3}-1)x = 10\,\textrm{.}

Also haben wir

\displaystyle x = \frac{10}{\sqrt{3}-1}\ \text{m}\approx 13\textrm{.}6\ \text{m.}
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