Lösung 4.2:5b - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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			Lösung 4.2:5b
			
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- If we draw the angle <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> on a unit circle, we see that it makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the negative ''x''-axis. + Wir zeichnen den Winkel <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel <math>45^{\circ}</math> zur negativen ''x''-Achse bildet.
  
- [[Image:4_2_5_b1.gif|center]] + <center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angle 180° + 45°}}</center>
  
- This means that <math>\tan 225^{\circ}</math>, which is the slope of the line that makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the positive ''x''-axis, equals <math>\tan 45^{\circ}</math>, because the line which makes an angle of <math>45^{\circ}</math> has the same slope, + Also ist <math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}</math>, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}
  
- [[Image:4_2_5_b2.gif|center]] + <center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angles 225° and 45°}}</center>
Aktuelle Version
Wir zeichnen den Winkel \displaystyle 225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ} am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel \displaystyle 45^{\circ} zur negativen x-Achse bildet.





Also ist \displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:





\displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}








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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
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- If we draw the angle <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> on a unit circle, we see that it makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the negative ''x''-axis. + Wir zeichnen den Winkel <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel <math>45^{\circ}</math> zur negativen ''x''-Achse bildet.
  
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- This means that <math>\tan 225^{\circ}</math>, which is the slope of the line that makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the positive ''x''-axis, equals <math>\tan 45^{\circ}</math>, because the line which makes an angle of <math>45^{\circ}</math> has the same slope, + Also ist <math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}</math>, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}
  
- [[Image:4_2_5_b2.gif|center]] + <center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angles 225° and 45°}}</center>
Aktuelle Version
Wir zeichnen den Winkel \displaystyle 225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ} am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel \displaystyle 45^{\circ} zur negativen x-Achse bildet.





Also ist \displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:





\displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}








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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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- If we draw the angle <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> on a unit circle, we see that it makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the negative ''x''-axis. + Wir zeichnen den Winkel <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel <math>45^{\circ}</math> zur negativen ''x''-Achse bildet.
  
- [[Image:4_2_5_b1.gif|center]] + <center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angle 180° + 45°}}</center>
  
- This means that <math>\tan 225^{\circ}</math>, which is the slope of the line that makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the positive ''x''-axis, equals <math>\tan 45^{\circ}</math>, because the line which makes an angle of <math>45^{\circ}</math> has the same slope, + Also ist <math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}</math>, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}
  
- [[Image:4_2_5_b2.gif|center]] + <center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angles 225° and 45°}}</center>
Aktuelle Version
Wir zeichnen den Winkel \displaystyle 225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ} am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel \displaystyle 45^{\circ} zur negativen x-Achse bildet.





Also ist \displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:





\displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}








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-If we draw the angle <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> on a unit circle, we see that it makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the negative ''x''-axis.
+Wir zeichnen den Winkel <math>225^{\circ} = 180^{\circ} + 45^{\circ}</math> am Einheitskreis und sehen, dass er den Winkel <math>45^{\circ}</math> zur negativen ''x''-Achse bildet.
-[[Image:4_2_5_b1.gif|center]]
+<center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angle 180° + 45°}}</center>
-This means that <math>\tan 225^{\circ}</math>, which is the slope of the line that makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the positive ''x''-axis, equals <math>\tan 45^{\circ}</math>, because the line which makes an angle of <math>45^{\circ}</math> has the same slope,
+Also ist <math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ}</math>, nachdem die beiden Geraden mit diesen Winkeln dieselbe Steigung haben:
 {{Abgesetzte Formel||<math>\tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}</math>}}
-[[Image:4_2_5_b2.gif|center]]
+<center>{{:4.2.5b - Solution - The unit circle with angles 225° and 45°}}</center>
 \displaystyle \tan 225^{\circ} = \tan 45^{\circ} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 1\,\textrm{.}