Lösung 4.2:5a

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Because <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> is an angle in the second quadrant which makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the positive ''y''-axis.
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Da der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse
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[[Image:4_2_5_a1.gif|center]]
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<center>{{:4.2.5a - Solution - The unit circle with angle 90° + 45°}}</center>
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We can determine the point on the unit circle which corresponds to <math>135^{\circ}</math> by introducing an auxiliary triangle and calculating its edges using trigonometry.
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Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel <math>135^{\circ}</math> entspricht, zu bestimmen.
{| width="100%"
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|width="50%" align="center"|[[Image:4_2_5_a2.gif|center]]
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|width="50%" align="center"|{{:4.2.5a - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}}
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
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The coordinates of the point are <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> and this shows that <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.
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Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Aktuelle Version

Da der Winkel \displaystyle 135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}, \displaystyle 135^{\circ} im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel \displaystyle 45^{\circ} mit der positiven y-Achse

[Image]

Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel \displaystyle 135^{\circ} entspricht, zu bestimmen.

[Image]

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}

Der Punkt hat also die Koordinaten \displaystyle ( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}). Daher ist \displaystyle \cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,.

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