Lösung 4.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We start by subtracting <math>2\pi</math> from <math>11\pi/3</math>, so that we get an angle between <math>0</math> and <math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value
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Zuerst subtrahieren wir <math>2\pi</math> von <math>11\pi/3</math>, sodass wir einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
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Then, by rewriting <math>5\pi/3</math> as a sum of <math>\pi</math>- and <math>\pi/2</math>-terms,
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Danach schreiben wir <math>5\pi/3</math> als Summe von <math>\pi</math>- und <math>\pi/2</math>-Termen,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
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we see that <math>5\pi/3</math> is an angle in the fourth quadrant which makes an angle <math>\pi/6</math> with the negative ''y''-axis.
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Somit sehen wir, dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.
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[[Image:4_2_4b1.gif||center]]
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<center>{{:4.2.4b - Solution - The unit circle with angle 5π/3}}</center>
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With the help of an auxiliary triangle and a little trigonometry, we can determine the coordinates for the point on a unit circle which corresponds to the angle
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Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht:
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<math>5\pi/3\,</math>.
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{| width="100%"
{| width="100%"
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|width="50%" align="center"|[[Image:4_2_4_b2.gif]]
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|width="50%" align="center"|{{:4.2.4b - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
+
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
|}
|}
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The point has coordinates <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> and
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Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math>, also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 2\pi von \displaystyle 11\pi/3, sodass wir einen Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}

Danach schreiben wir \displaystyle 5\pi/3 als Summe von \displaystyle \pi- und \displaystyle \pi/2-Termen,

\displaystyle \frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Somit sehen wir, dass \displaystyle 5\pi/3 im vierten Quadrant liegt, und den Winkel \displaystyle \pi/6 mit der negativen y-Achse bildet.

[Image]

Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel \displaystyle 5\pi/3\, entspricht:

[Image]

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}

Der Punkt hat also die Koordinaten \displaystyle (1/2,-\sqrt{3}/2), also ist

\displaystyle \cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}
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