Lösung 4.2:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We start by subtracting
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Zuerst subtrahieren wir <math>2\pi</math> von <math>11\pi/3</math>, sodass wir einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.
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<math>2\pi </math>
+
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from
+
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<math>\frac{11\pi }{3}</math>, so that we get an angle between
+
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<math>o</math>
+
-
and
+
-
<math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value
+
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}
-
<math>\cos \frac{11\pi }{3}=\cos \left( \frac{11\pi }{3}-2\pi \right)=\cos \frac{5\pi }{3}</math>
+
Danach schreiben wir <math>5\pi/3</math> als Summe von <math>\pi</math>- und <math>\pi/2</math>-Termen,
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}
-
Then, by rewriting
+
Somit sehen wir, dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.
-
<math>\frac{5\pi }{3}</math>
+
-
as a sum of
+
-
<math>\pi </math>
+
-
- and
+
-
<math>\frac{\pi }{2}</math>
+
-
-terms
+
 +
<center>{{:4.2.4b - Solution - The unit circle with angle 5π/3}}</center>
-
<math>\frac{5\pi }{3}=\frac{3\pi +\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}</math>
+
Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht:
-
we see that
+
{| width="100%"
-
<math>\frac{5\pi }{3}</math>
+
|width="50%" align="center"|{{:4.2.4b - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}
-
is an angle in the fourth quadrant which makes an angle
+
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
-
<math>\frac{\pi }{6}</math>
+
|}
-
with the negative
+
-
<math>y</math>
+
-
-axis.
+
 +
Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math>, also ist
-
[[Image:4_2_4b1.gif]]
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-
 
+
-
With the help of a triangle and a little trigonometry, we can determine the coordinates for the point on a unit circle which corresponds to the angle
+
-
<math>\frac{5\pi }{3}</math> .
+
-
 
+
-
 
+
-
[[Image:4_2_4_b2.gif]]
+
-
 
+
-
The point has coordinates
+
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<math>\left( \frac{1}{2} \right.,\left. -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)</math>
+
-
and
+
-
<math>\cos \frac{11\pi }{3}=\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}</math>.
+

Aktuelle Version

Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 2\pi von \displaystyle 11\pi/3, sodass wir einen Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.

\displaystyle \cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}

Danach schreiben wir \displaystyle 5\pi/3 als Summe von \displaystyle \pi- und \displaystyle \pi/2-Termen,

\displaystyle \frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}

Somit sehen wir, dass \displaystyle 5\pi/3 im vierten Quadrant liegt, und den Winkel \displaystyle \pi/6 mit der negativen y-Achse bildet.

[Image]

Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel \displaystyle 5\pi/3\, entspricht:

[Image]

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}

Der Punkt hat also die Koordinaten \displaystyle (1/2,-\sqrt{3}/2), also ist

\displaystyle \cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}
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