Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 09:14, 21. Sep. 2008 (bearbeiten) Ian (Diskussion | Beiträge) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Aktuelle Version (16:25, 23. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig) Silke (Diskussion | Beiträge)
(Der Versionsvergleich bezieht 6 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1:		Zeile 1:
-	A first thought is perhaps to write the equation as	+	Wir schreiben die quadratische Gleichung faktorisiert
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)(x-2)=0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x^{2}+ax+b=0</math>	+	Wir sehen, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn <math>x=-1</math> oder <math>x=2</math>. Erweitern wir die linke Seite, erhalten wir
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-x-2=0\,\textrm{.}</math>}}
-	and then try to choose the constants	+	Eine Funktion ist also <math>(x+1)(x-2)=0</math> oder <math>x^{2}-x-2=0\,</math>.
-	<math>a</math>	+
-	and	+
-	<math>b</math>	+
-	in some way so that	+
-	<math>x=-\text{1 }</math>	+
-	and	+
-	<math>x=\text{2 }</math>	+
-	are solutions. But a better way is to start with a factorized form of a second-order equation,	+
-	<math>\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)=0</math>	+	Hinweis: Eigentlich gibt es unendlich viele Funktionen mit den Nullstellen -1 und 2, nämlich alle Funktionen
		+	{{Abgesetzte Formel||<math>ax^{2}-ax-2a=0\,,</math>}}
-	If we consider this equation, we see that both	+	wobei <math>a\ne 0</math> eine beliebige Konstante ist.
-	<math>x=-\text{1 }</math>	+
-	and	+
-	<math>x=\text{2 }</math>	+
-	are solutions to the equation, since	+
-	<math>x=-\text{1 }</math>	+
-	makes the first factor on the left-hand side zero, whilst	+
-	<math>x=\text{2 }</math>	+
-	makes the second factor zero. Also, it really is a second order equation, because if we multiply out the left-hand side, we get	+
-		+
-		+
-	<math>x^{2}-x-2=0</math>	+
-		+
-		+
-	One answer is thus the equation	+
-	<math>\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)=0</math>, or	+
-	<math>x^{2}-x-2=0</math>.	+
-		+
-	NOTE: There are actually many answers to this exercise, but what all second-degree equations that have	+
-	<math>x=-\text{1 }</math>	+
-	and	+
-	<math>x=\text{2 }</math>	+
-	as roots have in common is that they can be written in the form	+
-		+
-		+
-	<math>ax^{2}-ax-2a=0</math>	+
-		+
-		+
-	where	+
-	<math>a</math>	+
-	is a non-zero constant.	+

---

Aktuelle Version

Wir schreiben die quadratische Gleichung faktorisiert

\displaystyle (x+1)(x-2)=0\,\textrm{.}

Wir sehen, dass die Gleichung erfüllt ist, wenn \displaystyle x=-1 oder \displaystyle x=2. Erweitern wir die linke Seite, erhalten wir

\displaystyle x^{2}-x-2=0\,\textrm{.}

Eine Funktion ist also \displaystyle (x+1)(x-2)=0 oder \displaystyle x^{2}-x-2=0\,.

Hinweis: Eigentlich gibt es unendlich viele Funktionen mit den Nullstellen -1 und 2, nämlich alle Funktionen

\displaystyle ax^{2}-ax-2a=0\,,

wobei \displaystyle a\ne 0 eine beliebige Konstante ist.