Lösung 4.2:3e
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden. | Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden. | ||
| - | + | <center>{{:4.2.3e - Solution - The unit circle with angle 3π/4 and point (cos (3π/4), sin (3π/4))}}</center> | |
| - | Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv. | + | Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv. |
| - | Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und | + | Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind: |
| - | + | <center>{{:4.2.3e - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}}</center> | |
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen: | In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen: | ||
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| - | |width="50%" align="center"| | + | |width="50%" align="center"|{{:4.2.3e - Solution - A triangle with hypotenuse 1 and angle π/4}} |
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math> | |width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math> | ||
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Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten | Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten | ||
| - | <math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> | + | <math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>, somit ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>. |
Aktuelle Version
Die Gerade mit dem Winkel \displaystyle 3\pi/4 zur positiven x-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/0/9/b/09becfa7773f24b12b8274ea2bbf6f84.png)
Nachdem die y-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch \displaystyle \sin (3\pi/4) positiv.
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel \displaystyle \sin (3\pi/4) zur x-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/3/6/1/361c09154a81db5b063adaa8f5f0a937.png)
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha zwischen der Hypotenuse und der y-Achse der Teil des Winkels \displaystyle 3\pi/4 ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist \displaystyle \alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:
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| \displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align} |
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/f/7/3/f730b6a95d3d5bbf3eb8ff75def28694.png)
Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten \displaystyle (-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}), somit ist \displaystyle \sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,.
