Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Version vom 08:30, 19. Aug. 2009 (bearbeiten) Tek (Diskussion | Beiträge) (Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE) ← Zum vorherigen Versionsunterschied		Version vom 13:52, 20. Aug. 2009 (bearbeiten) (rückgängig) Silke (Diskussion | Beiträge) (→D - Verschiedene Zahlen) Zum nächsten Versionsunterschied →
Zeile 141:		Zeile 141:
	Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...		Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
-	Wir schreiben auch '''Z'''<math> = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} = </math> und benutzen <math> n \in </math> '''Z''' , um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist.	+	Wir schreiben auch '''Z'''<math> = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} </math> und benutzen <math> n \in </math> '''Z''' , um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist.
	Die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: '''N''' <math> \subset </math> '''Z'''.		Die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: '''N''' <math> \subset </math> '''Z'''.

---

Version vom 13:52, 20. Aug. 2009

Theorie

Übungen

A. Rechnungen mit Zahlen

Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:

Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Mit dem Unterschied zwischen zwei Zahlen meint man meistens die kleinere Zahl subtrahiert von der größeren Zahl. Der Unterschied zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3.

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division hingegen wieder nicht.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

B - Operatorrangfolge

In den Fällen, wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig, die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

• Klammern (die innersten Klammern zuerst)
• Multiplikation und Division (von links nach rechts)
• Addition und Subtraktion (von links nach rechts)

C -"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt.

Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort \displaystyle 2 gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.

D - Verschiedene Zahlen

Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:

Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man R. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < \displaystyle \sqrt{2} oder \displaystyle - \frac{4}{3} < e .

Man unterteilt die reellen Zahlen in folgende Mengen von Zahlen:

Natürliche Zahlen (normalerweise mit N bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... Wir schreiben auch N\displaystyle = \{ 0,1,2, \dots \} und benutzen \displaystyle a \in N , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist.

Ganze Zahlen (Z)

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Wir schreiben auch Z\displaystyle = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} und benutzen \displaystyle n \in Z , um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist. Die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: N \displaystyle \subset Z.

Rationale Zahlen (Q)

Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die ein Bruch ganzer Zahlen sind, deren Nenner nicht 0 ist. Zum Beispiel,

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{etc.}

Wir schreiben auch Q \displaystyle = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in Z \displaystyle , n \not= 0 \} .

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Wir schreiben dafür auch Z \displaystyle \subset Q.

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.

Irrationale Zahlen

Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:

\displaystyle \sqrt{2} und \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, wie \displaystyle \pi.

E - Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit beliebiger Anzahl von Dezimalen. Ziffern vor dem Komma werden mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle 1/10, 1/100, 1/1000, ... multipliziert werden.

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt. Also ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75.

Mehr über Schriftliche Division auf Wikipedia.

Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt genau für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.

F - Rundung

Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.

Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.

G - Zahlen vergleichen

Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit gemeinsamen Nenner schreibt.

Übungen