ZusatzStoffTUB - Versionsgeschichte

Silke um 12:26, 4. Nov. 2009

Silke — Wed, 04 Nov 2009 12:26:51 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:26, 4. Nov. 2009
Zeile 590:		Zeile 590:
	</ol>		</ol>
	<li>		<li>
-	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}} </math> und meint ~~...~~ <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> k \leq n </math>.	+	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}} </math> und meint <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> \forall k \in </math> '''N''' : <math> k \leq n \Rightarrow { n \choose k } = {{n}\choose{n-k}} </math>.
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>
Zeile 814:		Zeile 814:
	<br>B<math>\subseteq</math> A <math>\Rightarrow </math> (A <math>\cap</math> B=B)		<br>B<math>\subseteq</math> A <math>\Rightarrow </math> (A <math>\cap</math> B=B)
	</div>		</div>
		+
		+	== F - .... ==
		+	Über den typisch mathematischen Aufbau einer VL / von Wissen als Definitionen, Sätze, Theoreme, ggf. auch Lemmata.

Silke um 12:16, 4. Nov. 2009

Silke — Wed, 04 Nov 2009 12:16:05 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:16, 4. Nov. 2009
Zeile 584:		Zeile 584:
	<br>Sprich: Es gibt für alle x in <math>R</math> ein y für das C(x,y) gilt.		<br>Sprich: Es gibt für alle x in <math>R</math> ein y für das C(x,y) gilt.
	<br>(z.B. y=-x+1 dann x+y=x-x+1=1)		<br>(z.B. y=-x+1 dann x+y=x-x+1=1)
-	<br>Man muss allerdings sehr auf die Reihenfolge achten. Vertauscht man die Quantoren in dem vorherigen Beipiel, entsteht eine völlig andere Aussage.	+	<br>Man muss allerdings sehr auf die Reihenfolge achten (Beispiel einfügen!). Vertauscht man die Quantoren in dem vorherigen Beipiel, entsteht eine völlig andere Aussage.
	<br><math>\exists y \in R \forall x \in R</math>: x+y=1 f		<br><math>\exists y \in R \forall x \in R</math>: x+y=1 f
	<br>Sprich: Es es gibt ein y in <math>R</math>, mit dem für jedes x in <math>R</math> C(x,y) gilt.		<br>Sprich: Es es gibt ein y in <math>R</math>, mit dem für jedes x in <math>R</math> C(x,y) gilt.
	</li>		</li>
		+	</ol>
	<li>		<li>
	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}} </math> und meint ... <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> k \leq n </math>.		Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}} </math> und meint ... <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> k \leq n </math>.
	</li>		</li>
-	</ol>
	</ol>		</ol>

Silke um 12:13, 4. Nov. 2009

Silke — Wed, 04 Nov 2009 12:13:37 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:13, 4. Nov. 2009
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	</li>		</li>
	<li>		<li>
-	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {n}\choose{k} = {n}\choose{n-k} </math> und meint ... <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> k \leq n </math>.	+	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}} </math> und meint ... <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> k \leq n </math>.
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>

Silke um 12:11, 4. Nov. 2009

Silke — Wed, 04 Nov 2009 12:11:29 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:11, 4. Nov. 2009
Zeile 589:		Zeile 589:
	</li>		</li>
	<li>		<li>
-	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {n}\choose{k}) </math>	+	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {n}\choose{k} = {n}\choose{n-k} </math> und meint ... <math> \forall n \in </math> '''N''' , <math> k \leq n </math>.
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>

Silke um 12:09, 4. Nov. 2009

Silke — Wed, 04 Nov 2009 12:09:34 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:09, 4. Nov. 2009
Zeile 517:		Zeile 517:

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''~~Beipiel~~ 8'''	+	'''Beispiel 8'''
-	<br>"Wenn x <math>\in N</math> durch 4 teilbar ~~isr~~, dann auch durch 2."	+	<br>"Wenn x <math>\in N</math> durch 4 teilbar ist, dann auch durch 2."
-	<br>"Wenn x <math>\in N</math> nicht durch 2 teilbar ~~isr~~, dann auch nicht durch 4."	+	<br>"Wenn x <math>\in N</math> nicht durch 2 teilbar ist, dann auch nicht durch 4."
	</div>		</div>

Zeile 587:		Zeile 587:
	<br><math>\exists y \in R \forall x \in R</math>: x+y=1 f		<br><math>\exists y \in R \forall x \in R</math>: x+y=1 f
	<br>Sprich: Es es gibt ein y in <math>R</math>, mit dem für jedes x in <math>R</math> C(x,y) gilt.		<br>Sprich: Es es gibt ein y in <math>R</math>, mit dem für jedes x in <math>R</math> C(x,y) gilt.
		+	</li>
		+	<li>
		+	Oft werden All-Quantoren weggelassen. Z.B. schreibt man <math> {n}\choose{k}) </math>
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>
Zeile 592:		Zeile 595:

	== 6.2. Beweisen und Widerlegen ==		== 6.2. Beweisen und Widerlegen ==
-	== A - Beweisen von ~~Existenaussagen~~ ==	+	In VL: Wichtigkeit von "All-Aussagen" und "Existenz-Aussagen" in der Mathematik.
		+
		+	== A - Beweisen von Existenzaussagen ==
	Beim Beweisen von Existenzaussagen reicht es ein Beispiel anzugeben.		Beim Beweisen von Existenzaussagen reicht es ein Beispiel anzugeben.
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 624:		Zeile 629:
	<br><math>\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>		<br><math>\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}</math>

-	Auf (*) zu kommen ist nicht immer ganz leicht. Man kann durch probieren darauf kommen oder weiss es aus Erfahrung.	+	Auf (*) zu kommen ist nicht immer ganz leicht. Man kann durch probieren darauf kommen oder weiss es aus Erfahrung. (Text zur Erläterung der Beweismethode.)
	</div>		</div>

Silke um 11:57, 4. Nov. 2009

Silke — Wed, 04 Nov 2009 11:57:19 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:57, 4. Nov. 2009
Zeile 18:		Zeile 18:
	== A - Permutationen ==		== A - Permutationen ==

-	Permutationen sind die Anzahl der Möglichkeiten, die Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen, also die Anzahl der ~~Weisen~~ Objekte anzuordnen.	+	Permutationen sind die Anzahl der Möglichkeiten, die Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen, also die Anzahl der Möglichkeiten Objekte anzuordnen.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 32:		Zeile 32:


-	Es gibt <math> 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 </math> (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&~~uume~~;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&uume;r den dritten Gegenstand.	+	Es gibt <math> 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 </math> (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, für den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&uume;r den dritten Gegenstand.
	</div>		</div>

Zeile 129:		Zeile 129:

	</div>		</div>
		+
	<div class="regel">		<div class="regel">
	'''Zusammenfassung Urnenmodell'''		'''Zusammenfassung Urnenmodell'''
-	Das Urnenmodell ist ein ~~allgemeines Beispiel für die~~ Kombinatorik. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.	+	Das Urnenmodell ist ein kombinatorisches Modell, auf das sich viele Aufgaben der Kombinatorik zurück führen lassen. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.

	{\| class="wikitable" border="1"		{\| class="wikitable" border="1"
Zeile 195:		Zeile 196:

	== 6.1. Logische Grundlagen (Aussagenlogik) ==		== 6.1. Logische Grundlagen (Aussagenlogik) ==
		+	Dieser Abschnitt braucht noch besonders viel Überarbeitung. Viele Aussagen sind unscharf formuliert und Beispiele aus der VL (von Thorsten Rohwedder) fehlen.

	== A - Aussagen ==		== A - Aussagen ==
Zeile 213:		Zeile 215:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Beispiel 2'''		'''Beispiel 2'''
-	<br>Aussagen ~~können~~ mit A, B, C, ... bezeichnet ~~werden~~.	+	<br>Aussagen werden mit A, B, C, ... bezeichnet.
	<br>z.B. A: "3 < 7"		<br>z.B. A: "3 < 7"
	</div>		</div>
Zeile 319:		Zeile 321:
	== D - Tautologische Aequivalenzen ==		== D - Tautologische Aequivalenzen ==

-	~~Tautologische Äquivalenzen sind~~ Aussagen ~~die immer stimmen~~.	+	Zwei Aussagen heissen tautologisch äquivalent, wenn ihre Wahrheitstafeln übereinstimmen, z.B. <math> \neg </math> A und <math> \neg \neg \neg</math> A
-	~~Betrachte~~ <math> \neg </math> A und <math> \neg \neg \neg</math> A	+
	{\| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"		{\| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
	\|-		\|-
Zeile 393:		Zeile 394:
	\|-		\|-
	\|}		\|}
-	Da die beiden rot markierten Spalten jeweils die gleichen Wahrheitswerte zeigen, sieht man, dass <math>\neg</math>(A<math>\wedge</math>B) und <math>\neg</math>A <math>\vee \neg</math>B ~~das gleiche~~ sind. Also gilt	+	Da die beiden rot markierten Spalten jeweils die gleichen Wahrheitswerte zeigen, sieht man, dass <math>\neg</math>(A<math>\wedge</math>B) und <math>\neg</math>A <math>\vee \neg</math>B tautologisch äquivalent sind. Also gilt
	<div class="regel">		<div class="regel">
	<math> \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B)) </math>		<math> \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B)) </math>
Zeile 416:		Zeile 417:
	<br>Hier bedeutet <math>\neg (A \vee B)</math> ich bin nicht besoffen oder müde, <math>\neg A \wedge \neg B </math> dass man nicht besoffen und nicht müde ist.		<br>Hier bedeutet <math>\neg (A \vee B)</math> ich bin nicht besoffen oder müde, <math>\neg A \wedge \neg B </math> dass man nicht besoffen und nicht müde ist.
	</div>		</div>
-
-	An dieses Beispielen sieht man, dass die Regeln auch im normalen Sprachgebrauch bei Aussagen angewendet werden können, wahre Schluesse zu ziehen.

	== D - Implikationen ==		== D - Implikationen ==

-	Wir definieren A <math>\Rightarrow</math>B per ~~Wahrheitswerttabelle~~. Gesprochen bedeutet A <math>\Rightarrow</math>B, dass immer wenn A gilt, dann auch B.	+	Dieser Abschnitt braucht besonders viel Überarbeitung.
		+
		+	Wir definieren A <math>\Rightarrow</math>B per Wahrheitstafeln. Gesprochen bedeutet A <math>\Rightarrow</math>B, dass immer wenn A gilt, dann auch B.

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 465:		Zeile 466:
	A <math>\Leftrightarrow</math> B:= (A <math>\Rightarrow</math> B) <math>\wedge</math> (B<math>\Rightarrow</math>A)		A <math>\Leftrightarrow</math> B:= (A <math>\Rightarrow</math> B) <math>\wedge</math> (B<math>\Rightarrow</math>A)

-	== F - ~~Kontraproition~~ ==	+	== F - Kontraposition ==

	A <math>\Rightarrow</math> B <math>=\parallel =</math> <math>\neg</math>B <math>\Rightarrow</math><math>\neg</math>A		A <math>\Rightarrow</math> B <math>=\parallel =</math> <math>\neg</math>B <math>\Rightarrow</math><math>\neg</math>A
Zeile 522:		Zeile 523:

	(Vorsicht:		(Vorsicht:
-	A <math>\Rightarrow \ne \neg</math> A <math>\Rightarrow \neg</math> B)	+	A <math>\Rightarrow B \ne \neg</math> A <math>\Rightarrow \neg</math> B)

		+	Hier (bei Vorsicht) waere ein Beispiel sinnvoll.
	== G - Aussageformen ==		== G - Aussageformen ==

Moni um 11:34, 10. Okt. 2009

Moni — Sat, 10 Oct 2009 11:34:55 GMT

(Unterschied zwischen Versionen)

Moni um 13:57, 8. Okt. 2009

Moni — Thu, 08 Oct 2009 13:57:33 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:57, 8. Okt. 2009
Zeile 771:		Zeile 771:
	<br>Beispiel: x<math>\in \not \circ</math>: ist eine falsche Aussage		<br>Beispiel: x<math>\in \not \circ</math>: ist eine falsche Aussage
	</ul>		</ul>
-
-
-	<br><math>
-	\begin{array}
-	& \text{Mengenklammer} & \text{ , } & A={1, 2, 3} & \text{Menge, die 1, 2, 3 enthaelt} & \\
-	& \text{Element von} & \in & \in A & \\
-	& \text{nicht Element von} & \not \in& 4 \not \in A & \\
-	& \text{Teilmenge} & \subset , \subseteq & \text{1,2} \subseteq A , \text{1,2,3} \subseteq A & \\
-	& \text{leere Menge} & \text{ 4 } , \not \circ & x \in \not \circ \text{:falsche Aussage!} &
-	\end{array}
-	</math>

	'''Intervalle'''		'''Intervalle'''
-	<br>abgeschlossenes Intervall [a,b] = {x\|<math>a \le x \le b</math> }	+	<ul>
-	<br>halboffne Intervall ]a,b]= {x\|<math>a< x\le b</math>}=(a,b]	+	<li>
		+	abgeschlossenes Intervall [a,b] = {x\|<math>a \le x \le b</math> }
		+	<br>In einem abgeschlossenen Intervall sind beide Intervallgrenzen(a und b) enthalten.
		+	<li>
		+	halboffne Intervall ]a,b]= {x\|<math>a< x\le b</math>}=(a,b]
	[a,b[= {x\|<math>a\le x< b </math>}=[a,b)		[a,b[= {x\|<math>a\le x< b </math>}=[a,b)
-	<br>offene Intervalle ]a,b[= {x\|<math>a< x < b </math>}=(a,b)	+	<br>In einem halboffenen Intervall ist eine der beiden Grenzen enthalten.
		+	<li>
		+	offene Intervalle ]a,b[= {x\|<math>a< x < b </math>}=(a,b)
		+	<br>In einem offenen Intervall sind beide Grenzen nicht enthalten.
		+	</ul>

	'''Mengenoperationen'''		'''Mengenoperationen'''
	<br>Fuer Mengen A, B heisst		<br>Fuer Mengen A, B heisst
-	<br><math>A \cup B</math>= {<math>x\|x \in A \vee x \in B</math>}(Vereinigung)	+	<ul>
-	<br><math>A \cap B</math>= {<math>x\|x \in A \wedge x \in B</math>}(Schnitt)	+	<li>Vereinigung
-	<br><math>A \backslash B </math>= {<math>x\| x\in A \wedge \neg (x\in B) </math>}~~(Mengensubtraktion)~~	+	<br><math>A \cup B</math>= {<math>x\|x \in A \vee x \in B</math>}
		+	<br>In der Vereinigung zweier Mengen sind alle Elemente aus den A und B enthalten.
		+	<li>Schnitt
		+	<br><math>A \cap B</math>= {<math>x\|x \in A \wedge x \in B</math>}
		+	<br>In dem Schnitt zweier Mengen sind alle Elemente enthalten, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
		+	<li>Mengensubtraktion
		+	<br><math>A \backslash B </math>= {<math>x\| x\in A \wedge \neg (x\in B) </math>}
		+	<br>Bei der Mengensubraktion werden aus der Menge A alle Elemente gestrichen, die in der Menge B enthalten sind.
		+	</ul>
		+

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	''' Beispiel '''	+	''' Beispiel 1'''
	<br>]a,b]=[a,b] \ {a}		<br>]a,b]=[a,b] \ {a}
	<br>A<math>\cap \not \circ = \not \circ </math>		<br>A<math>\cap \not \circ = \not \circ </math>
	<br>B<math>\subseteq</math> A <math>\Rightarrow </math> (A <math>\cap</math> B=B)		<br>B<math>\subseteq</math> A <math>\Rightarrow </math> (A <math>\cap</math> B=B)
	</div>		</div>

Moni um 13:46, 8. Okt. 2009

Moni — Thu, 08 Oct 2009 13:46:35 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:46, 8. Okt. 2009
Zeile 213:		Zeile 213:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Beispiel 2'''		'''Beispiel 2'''
-	Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden.	+	<br>Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden.
	<br>z.B. A: "3 < 7"		<br>z.B. A: "3 < 7"
	</div>		</div>
Zeile 221:		Zeile 221:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	'''Logisches "und" ( <math> \wedge </math> )'''		'''Logisches "und" ( <math> \wedge </math> )'''
-	Das logische "und" ist wie "und" im normalen Sprachgebrauch. Eine Verknuepfung zweier Aussagen mit einem logischen und ist nur dann wahr wenn beide Aussagen auch wahr sind.	+	<br>Das logische "und" ist wie "und" im normalen Sprachgebrauch. Eine Verknuepfung zweier Aussagen mit einem logischen und ist nur dann wahr wenn beide Aussagen auch wahr sind.

	{\| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"		{\| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
Zeile 256:		Zeile 256:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	'''Logisches "oder" (<math> \vee </math>) (lat. vel = oder)'''		'''Logisches "oder" (<math> \vee </math>) (lat. vel = oder)'''
-	Auch das logische "oder" ist wie "oder" im normalen Sprachgebrauch. Eine Verknuepfung zweier Aussagen mit einem logischen oder ist nur dann wahr wenn mindestens eine der Aussagen auch wahr ist.	+	<br>Auch das logische "oder" ist wie "oder" im normalen Sprachgebrauch. Eine Verknuepfung zweier Aussagen mit einem logischen oder ist nur dann wahr wenn mindestens eine der Aussagen auch wahr ist.

	{\| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"		{\| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
Zeile 647:		Zeile 647:
	<br><math>\exists x \in N: x^2=2</math>		<br><math>\exists x \in N: x^2=2</math>
	<br>Verneinung:		<br>Verneinung:
-	<br><math>\exists x \in N: x^2=2 \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: \neg (x^2=2 \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: x^2 \ne 2</math>	+	<br><math>\exists x \in N: x^2=2 \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: \neg (x^2=2) \ \ =\parallel = \ \ \forall x \in N: x^2 \ne 2</math>
	</div>		</div>

Zeile 754:		Zeile 754:
	== E - Einige mathematische Symbole==		== E - Einige mathematische Symbole==
	'''Mengen'''		'''Mengen'''
		+	<ul>
		+	<li>
		+	Mengenklammer { , }
		+	<br>Beispiel: A={1,2,3} (eine Menge die 1,2,3 enthaelt)
		+	<li>
		+	Element von <math>\in</math>
		+	<br>Beispiel: 1<math>\in</math>A
		+	<li>
		+	nicht Element von <math>\not \in</math>
		+	<br>Beispiel: 4<math>\not \in</math>A
		+	<li>
		+	Teilmenge <math>\subset , \subseteq</math>
		+	<br>Beispiel: {1,2} <math>\subseteq</math>A , {1,2,3} <math>\subseteq</math> A
		+	<li>
		+	leere Menge {}<math>\not \circ</math>
		+	<br>Beispiel: x<math>\in \not \circ</math>: ist eine falsche Aussage
		+	</ul>

Moni um 13:31, 8. Okt. 2009

Moni — Thu, 08 Oct 2009 13:31:53 GMT

(Unterschied zwischen Versionen)