Lösung 4.2:5a - Versionsgeschichte

Tek: Replaced figures with metapost figures

Tek — Mon, 24 Aug 2009 13:08:45 GMT

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	Da der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse		Da der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse

-	~~[[Image~~:~~4_2_5_a1~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.2.5a - Solution - The unit circle with angle 90° + 45°}}</center>

	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel <math>135^{\circ}</math> entspricht, zu bestimmen.		Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel <math>135^{\circ}</math> entspricht, zu bestimmen.

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\|width="50%" align="center"\|~~[[Image~~:~~4_2_5_a2_de~~.~~gif\|center]]~~	+	\|width="50%" align="center"\|{{:4.2.5a - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}}
	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>		\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
	\|}		\|}

	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.		Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Bayerer um 15:48, 30. Jul. 2009

Bayerer — Thu, 30 Jul 2009 15:48:48 GMT

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	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\|width="50%" align="center"\|[[Image:~~4_2_5_a2~~.gif\|center]]	+	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_5_a2_de.gif\|center]]
	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>		\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
	\|}		\|}

	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.		Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Bayerer um 17:22, 23. Jul. 2009

Bayerer — Thu, 23 Jul 2009 17:22:18 GMT

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-	~~Nachdem~~ der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse	+	Da der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse

	[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]		[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]

Markus.bez um 13:24, 18. Jun. 2009

Markus.bez — Thu, 18 Jun 2009 13:24:32 GMT

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-	Nachdem der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten ~~Quadrant~~ liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse	+	Nachdem der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse

	[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]		[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]

-	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis der den Winkel <math>135^{\circ}</math>entspricht zu bestimmen.	+	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel <math>135^{\circ}</math> entspricht, zu bestimmen.

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
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	\|}		\|}

-	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> ~~und daher~~ ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.	+	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Martin um 15:59, 4. Apr. 2009

Martin — Sat, 04 Apr 2009 15:59:08 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:59, 4. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Because~~ <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> ~~is an angle in the second quadrant which makes an angle of~~ <math>45^{\circ}</math> ~~with the positive~~ ''y''-~~axis.~~	+	Nachdem der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadrant liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse

	[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]		[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]

-	~~We can determine the point on the unit circle which corresponds to~~ <math>135^{\circ}</math> ~~by introducing an auxiliary triangle and calculating its edges using trigonometry~~.	+	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis der den Winkel <math>135^{\circ}</math>entspricht zu bestimmen.

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_5_a2.gif\|center]]		\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_5_a2.gif\|center]]
-	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{~~opposite~~} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{~~adjacent~~} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>	+	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
	\|}		\|}

-	~~The coordinates of the point are~~ <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> ~~and this shows that~~ <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.	+	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Tekbot: hat „Solution 4.2:5a“ nach „Lösung 4.2:5a“ verschoben: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 14:58:04 GMT

hat „Solution 4.2:5a“ nach „Lösung 4.2:5a“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:58, 22. Okt. 2008

Tek um 11:01, 9. Okt. 2008

Tek — Thu, 09 Oct 2008 11:01:24 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:01, 9. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Because	+	Because <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> is an angle in the second quadrant which makes an angle of <math>45^{\circ}</math> with the positive ''y''-axis.
-	<math>~~\text{~~135}^{\circ ~~}\text{~~ }=~~\text{ 9}0~~^{\circ ~~}\text{~~ }+~~\text{~~45}^{\circ }</math>,	+
-	<math>~~\text{~~135}^{\circ ~~}\text{~~ }</math>	+
-	is an angle in the second quadrant which makes an angle of	+
-	<math>~~\text{~~45}^{\circ }</math>	+
-	with the positive	+
-	~~<math>~~y~~</math>~~	+
-	-axis.	+
-		+

	[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]		[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]

-	We can determine the point on the unit circle which corresponds to	+	We can determine the point on the unit circle which corresponds to <math>135^{\circ}</math> by introducing an auxiliary triangle and calculating its edges using trigonometry.
-	<math>~~\text{~~135}^{\circ ~~}\text{~~ }</math>	+
-	by introducing an auxiliary triangle and calculating its edges using trigonometry.	+
-		+
-		+
-	~~[[Image:4_2_5_a2.gif\|center]]~~	+
-		+
-	~~opposite<math>=1\centerdot \sin \centerdot 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>~~	+
-		+
-	~~adjacent~~	+
-	~~<math>=1\centerdot \cos \centerdot 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>~~	+

		+	{\| width="100%"
		+	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_5_a2.gif\|center]]
		+	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
		+	\|}

-	The coordinates of the point are	+	The coordinates of the point are <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> and this shows that <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>.
-	<math>~~\left~~( -\~~frac{1}{~~\sqrt{2}~~} \right.~~,\~~left. \frac{1}{~~\sqrt{2}~~} \right~~)</math>	+
-	and this shows that	+
-	<math>\~~text{cos135}~~^{\circ }=-\~~frac{1}{~~\sqrt{2}}</math>.	+

Ian um 07:56, 29. Sep. 2008

Ian — Mon, 29 Sep 2008 07:56:26 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 07:56, 29. Sep. 2008
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-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	Because
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_2_5a.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>\text{135}^{\circ }\text{ }=\text{ 9}0^{\circ }\text{ }+\text{45}^{\circ }</math>,
-	{{~~NAVCONTENT_STOP}~~}	+	<math>\text{135}^{\circ }\text{ }</math>
		+	is an angle in the second quadrant which makes an angle of
		+	<math>\text{45}^{\circ }</math>
		+	with the positive
		+	<math>y</math>
		+	-axis.
		+
		+
	[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]		[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]
		+
		+	We can determine the point on the unit circle which corresponds to
		+	<math>\text{135}^{\circ }\text{ }</math>
		+	by introducing an auxiliary triangle and calculating its edges using trigonometry.
		+
		+
	[[Image:4_2_5_a2.gif\|center]]		[[Image:4_2_5_a2.gif\|center]]
		+
		+	opposite<math>=1\centerdot \sin \centerdot 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
		+
		+	adjacent
		+	<math>=1\centerdot \cos \centerdot 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
		+
		+
		+	The coordinates of the point are
		+	<math>\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right.,\left. \frac{1}{\sqrt{2}} \right)</math>
		+	and this shows that
		+	<math>\text{cos135}^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{2}}</math>.

Tekbot: Lösning 4.2:5a moved to Solution 4.2:5a: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 09 Sep 2008 09:47:43 GMT

Lösning 4.2:5a moved to Solution 4.2:5a: Robot: moved page

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Version vom 09:47, 9. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

Tekbot — Thu, 21 Aug 2008 07:10:59 GMT

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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-	[[~~Bild~~:4_2_5_a1.gif\|center]]	+	[[Image:4_2_5_a1.gif\|center]]
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