Lösung 4.2:3e - Versionsgeschichte

Tek: Replaced figures with metapost figures

Tek — Fri, 21 Aug 2009 11:45:11 GMT

Replaced figures with metapost figures

← Nächstältere Version		Version vom 11:45, 21. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.		Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.

-	~~[[Image~~:~~4_2_3_e1~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.2.3e - Solution - The unit circle with angle 3π/4 and point (cos (3π/4), sin (3π/4))}}</center>

	Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.		Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.
Zeile 7:		Zeile 7:
	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:		Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

-	~~[[Image~~:~~4_2_3_e_2~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.2.3e - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}}</center>

	In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:		In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\|width="50%" align="center"\|~~[[Image~~:~~4_2_3_e3~~.~~gif\|center]]~~	+	\|width="50%" align="center"\|{{:4.2.3e - Solution - A triangle with hypotenuse 1 and angle π/4}}
	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>		\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
	\|}		\|}

Bayerer um 17:19, 23. Jul. 2009

Bayerer — Thu, 23 Jul 2009 17:19:09 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:19, 23. Jul. 2009
Zeile 5:		Zeile 5:
	Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.		Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.

-	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:	+	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

	[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]
Zeile 17:		Zeile 17:

	Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten		Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten
-	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> ~~und also~~ ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.	+	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>, somit ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Bayerer um 17:17, 23. Jul. 2009

Bayerer — Thu, 23 Jul 2009 17:17:36 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:17, 23. Jul. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]

-	Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.	+	Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.

	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:		Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

Markus.bez: Sprache und Formulierung

Markus.bez — Thu, 18 Jun 2009 10:32:48 GMT

Sprache und Formulierung

← Nächstältere Version		Version vom 10:32, 18. Jun. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten ~~Quadrant~~ schneiden.	+	Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.

	[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]
Zeile 5:		Zeile 5:
	Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.		Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.

-	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, ~~dass~~ die Gerade mit ~~den~~ Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat, und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.	+	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

	[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]

-	In diesen Dreieck sehen wir dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse, der ~~teil~~ des Winkels <math>3\pi/4</math> der ~~in den~~ zweiten ~~Quadrant~~ liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können die Seiten des Dreiecks ~~mit Trigonometrie~~ berechnen.	+	In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
Zeile 16:		Zeile 16:
	\|}		\|}

-	Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und ~~den~~ Einheitskreis die Koordinaten	+	Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten
	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.		<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Martin um 12:56, 4. Apr. 2009

Martin — Sat, 04 Apr 2009 12:56:36 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:56, 4. Apr. 2009
Zeile 13:		Zeile 13:
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_3_e3.gif\|center]]		\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_3_e3.gif\|center]]
-	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{~~opposite~~} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{~~adjacent~~} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>	+	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
	\|}		\|}

	Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und den Einheitskreis die Koordinaten		Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und den Einheitskreis die Koordinaten
	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.		<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Martin um 12:55, 4. Apr. 2009

Martin — Sat, 04 Apr 2009 12:55:58 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:55, 4. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we draw the line which has angle~~ <math>3\pi/4</math> ~~relative to the positive~~ ''x''-~~axis, it will cut the unit circle in the second quadrant~~.	+	Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadrant schneiden.

	[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]

-	~~At first sight~~, ~~the figure gives information about the signs of <math>\cos (3\pi/4)</math> and~~ <math>\sin (3\pi/4)</math>~~: cosine, which is the ''x''-coordinate for the intersection point, is negative, whereas sine, which is the ''y''-coordinate for the intersection point, is positive~~.	+	Nachdem die 'y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.

-	~~In order to go further and determine the coordinates of the intersection points~~, ~~we concentrate on the second quadrant and introduce an auxiliary triangle which has the line associated with the angle as the hypotenuse and its other edges~~ parallel ~~to the coordinate axes~~.	+	Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, dass die Gerade mit den Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat, und wo die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind.

	[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]

-	In ~~this triangle, we see that the angle~~ <math>\alpha</math> ~~between the hypotenuse and the~~ ''y''-~~axis is the part of the angle~~ <math>3\pi/4</math> ~~that lies~~ in ~~the second quadrant, i.e~~. <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. ~~With the help of trigonometry, we can now determine the triangle's sides~~.	+	In diesen Dreieck sehen wir dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse, der teil des Winkels <math>3\pi/4</math> der in den zweiten Quadrant liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können die Seiten des Dreiecks mit Trigonometrie berechnen.

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
Zeile 16:		Zeile 16:
	\|}		\|}

-	~~This shows that the intersection point has coordinates~~	+	Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und den Einheitskreis die Koordinaten
-	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> ~~(note the minus sign in the ''x''-coordinate) and therefore that~~ <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.	+	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> und also ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Tekbot: hat „Solution 4.2:3e“ nach „Lösung 4.2:3e“ verschoben: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 14:55:24 GMT

hat „Solution 4.2:3e“ nach „Lösung 4.2:3e“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:55, 22. Okt. 2008

Tek um 08:07, 9. Okt. 2008

Tek — Thu, 09 Oct 2008 08:07:31 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:07, 9. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	If we draw the line which has angle	+	If we draw the line which has angle <math>3\pi/4</math> relative to the positive ''x''-axis, it will cut the unit circle in the second quadrant.
-	<math>~~\text{~~3}{\pi }/{4~~}\;~~</math>	+
-	relative to the positive	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	-axis, it will cut the unit circle in the second quadrant.	+

	[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]
-	At first sight, the figure gives information about the signs of	+
-	<math>\cos {3\pi }/{4~~}\;~~</math>	+	At first sight, the figure gives information about the signs of <math>\cos (3\pi/4)</math> and <math>\sin (3\pi/4)</math>: cosine, which is the ''x''-coordinate for the intersection point, is negative, whereas sine, which is the ''y''-coordinate for the intersection point, is positive.
-	and	+
-	<math>\sin {3\pi }/{4~~}\;~~</math>: cosine, which is the	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	-coordinate for the intersection point, is negative, whereas sine, which is the	+
-	~~<math>~~y~~</math>~~	+
-	-coordinate for the intersection point, is positive.	+

	In order to go further and determine the coordinates of the intersection points, we concentrate on the second quadrant and introduce an auxiliary triangle which has the line associated with the angle as the hypotenuse and its other edges parallel to the coordinate axes.		In order to go further and determine the coordinates of the intersection points, we concentrate on the second quadrant and introduce an auxiliary triangle which has the line associated with the angle as the hypotenuse and its other edges parallel to the coordinate axes.
-

	[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]

-	In this triangle, we see that the angle	+	In this triangle, we see that the angle <math>\alpha</math> between the hypotenuse and the ''y''-axis is the part of the angle <math>3\pi/4</math> that lies in the second quadrant, i.e. <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. With the help of trigonometry, we can now determine the triangle's sides.
-	<math>\alpha </math>	+
-	between the hypotenuse and the	+
-	~~<math>~~y~~</math>~~	+
-	-axis is the part of the	+
-	<math>y</math>	+
-	~~-axis~~ that lies in the second quadrant, i.e.	+
-	<math>\alpha =~~\frac{~~3\pi }{4}-~~\frac{~~\pi }{2}=~~\frac{~~\pi }{4}</math>. With the help of trigonometry, we can now determine the triangle's sides.	+
-		+
-		+

-	[[Image:4_2_3_e3.gif\|center]]	+	{\| width="100%"
		+	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_3_e3.gif\|center]]
		+	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
		+	\|}

	This shows that the intersection point has coordinates		This shows that the intersection point has coordinates
-	<math>~~\left~~( -\~~frac{1}{~~\sqrt{2}~~} \right.~~,\~~left. \frac{1}{~~\sqrt{2}~~} \right~~)</math>	+	<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> (note the minus sign in the ''x''-coordinate) and therefore that <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.
-	(note the minus sign in the	+
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	-coordinate) and therefore that	+
-	<math>\sin ~~\frac{~~3\pi }{4}=~~\frac{~~1}{\sqrt{2}}</math>.	+

Ian um 12:25, 28. Sep. 2008

Ian — Sun, 28 Sep 2008 12:25:33 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:25, 28. Sep. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If we draw the line which has angle
-	~~<center> [[Image:4_2_3e-1(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>\text{3}{\pi }/{4}\;</math>
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	relative to the positive
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	<math>x</math>
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_2_3e-2(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	-axis, it will cut the unit circle in the second quadrant.
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+

	[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e1.gif\|center]]
		+	At first sight, the figure gives information about the signs of
		+	<math>\cos {3\pi }/{4}\;</math>
		+	and
		+	<math>\sin {3\pi }/{4}\;</math>: cosine, which is the
		+	<math>x</math>
		+	-coordinate for the intersection point, is negative, whereas sine, which is the
		+	<math>y</math>
		+	-coordinate for the intersection point, is positive.
		+
		+	In order to go further and determine the coordinates of the intersection points, we concentrate on the second quadrant and introduce an auxiliary triangle which has the line associated with the angle as the hypotenuse and its other edges parallel to the coordinate axes.
		+
		+
	[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e_2.gif\|center]]
		+
		+	In this triangle, we see that the angle
		+	<math>\alpha </math>
		+	between the hypotenuse and the
		+	<math>y</math>
		+	-axis is the part of the
		+	<math>y</math>
		+	-axis that lies in the second quadrant, i.e.
		+	<math>\alpha =\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}</math>. With the help of trigonometry, we can now determine the triangle's sides.
		+
		+
		+
	[[Image:4_2_3_e3.gif\|center]]		[[Image:4_2_3_e3.gif\|center]]
		+
		+	This shows that the intersection point has coordinates
		+	<math>\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right.,\left. \frac{1}{\sqrt{2}} \right)</math>
		+	(note the minus sign in the
		+	<math>x</math>
		+	-coordinate) and therefore that
		+	<math>\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}</math>.

Tekbot: Lösning 4.2:3e moved to Solution 4.2:3e: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 09 Sep 2008 09:45:03 GMT

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