Lösung 3.4:3a - Versionsgeschichte

Moni um 10:33, 9. Aug. 2009

Moni — Sun, 09 Aug 2009 10:33:00 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:33, 9. Aug. 2009
Zeile 18:		Zeile 18:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}

-	Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.	+	Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.

	Also hat die Gleichung die Lösungen		Also hat die Gleichung die Lösungen

Moni um 10:32, 9. Aug. 2009

Moni — Sun, 09 Aug 2009 10:32:34 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:32, 9. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, ~~und~~ also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,	+	Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 14:		Zeile 14:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}

-	und sammeln alle Terme auf einer Seite:	+	und sammeln alle Terme auf einer Seite

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}

-	Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> ~~und daher~~ <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, ~~also~~ ist die rechte Seite positiv.	+	Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> deshalb <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, daher ist die rechte Seite positiv.

-	~~Daher~~ hat die Gleichung die Lösungen	+	Also hat die Gleichung die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}

Markus.bez um 14:06, 12. Jun. 2009

Markus.bez — Fri, 12 Jun 2009 14:06:25 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:06, 12. Jun. 2009
Zeile 14:		Zeile 14:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}

-	und sammeln alle ~~Terma~~ auf einer Seite,	+	und sammeln alle Terme auf einer Seite:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}

-	Es kann schwierig sein zu sehen ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und daher <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, ~~und~~ die rechte Seite ~~ist also~~ positiv.	+	Es kann schwierig sein zu sehen, ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und daher <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, also ist die rechte Seite positiv.

	Daher hat die Gleichung die Lösungen		Daher hat die Gleichung die Lösungen
Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}

-	~~welches~~ auch ~~wie~~	+	was auch als

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}

	geschrieben werden kann.		geschrieben werden kann.

Martin um 17:15, 27. Mär. 2009

Martin — Fri, 27 Mar 2009 17:15:21 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:15, 27. Mär. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{~~LHS~~} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]	+	\text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
-	\text{~~RHS~~} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}	+	\text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Martin um 17:15, 27. Mär. 2009

Martin — Fri, 27 Mar 2009 17:15:01 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:15, 27. Mär. 2009
Zeile 24:		Zeile 24:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}

-	~~oder~~	+	welches auch wie

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
		+
		+	geschrieben werden kann.

Martin um 17:14, 27. Mär. 2009

Martin — Fri, 27 Mar 2009 17:14:27 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:14, 27. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~Both left- and right-hand sides are positive for all values of~~ ''x'' ~~and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation~~,	+	Die rechte und linke Seite, sind für alle ''x'' positiv, und also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 6:		Zeile 6:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~After a little rearranging, the equation becomes~~	+	Diese Gleichung entspricht

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We complete the square of the left-hand side,~~	+	Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}

-	~~and move the constant terms over to the right-hand side~~,	+	und sammeln alle Terma auf einer Seite,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}

-	~~It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that~~ <math>e > 2</math> ~~and that thus~~ <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>~~, we must have that~~ <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, ~~i.e. the right-hand side is positive~~.	+	Es kann schwierig sein zu sehen ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben <math>e > 2</math> und daher <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>. Also haben wir <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, und die rechte Seite ist also positiv.

-	~~The equation therefore has the solutions~~	+	Daher hat die Gleichung die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}

-	~~which can also be written as~~	+	oder

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}

Tekbot: hat „Solution 3.4:3a“ nach „Lösung 3.4:3a“ verschoben: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 14:42:24 GMT

hat „Solution 3.4:3a“ nach „Lösung 3.4:3a“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:42, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 08:46:38 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 14:15, 2. Okt. 2008

Tek — Thu, 02 Oct 2008 14:15:24 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:15, 2. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Both left- and right-hand sides are positive for all values of	+	Both left- and right-hand sides are positive for all values of ''x'' and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation,
-	~~<math>~~x~~</math>~~	+
-	and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation.	+
-		+
-	~~LHS~~	+
-	~~<math>=\ln 2^{-x^{2}}=-x^{2}\centerdot \ln 2~~,~~</math>~~	+
-		+
-	~~RHS~~	+
-	~~<math>=\ln \left( 2e^{2x} \right)=\ln 2+\ln e^{2x}=\ln 2+2x\centerdot \ln e=\ln 2+2x\centerdot 1</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
		+	\text{LHS} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
		+	\text{RHS} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
		+	\end{align}</math>}}

	After a little rearranging, the equation becomes		After a little rearranging, the equation becomes

		+	{{Displayed math\|\|<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0</math>~~	+	We complete the square of the left-hand side,

-	~~We complete the square of the left~~-~~hand side~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}

		+	and move the constant terms over to the right-hand side,

-	<math>\~~left~~( x+\frac{1}{\ln 2} \~~right~~)^{2}-\~~left~~( \frac{1}{\ln 2} \~~right~~)^{2}+1=0</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}

-		+	It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that <math>e > 2</math> and that thus <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>, we must have that <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, i.e. the right-hand side is positive.
-	~~and move the constant terms over to the right-hand side:~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>\left( x+\frac{1}{\ln 2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-1</math>~~	+
-		+
-		+
-	It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that	+
-	<math>e>2</math>	+
-	and that thus	+
-	<math>\~~text{~~ln 2}<\ln e=\~~text{1}~~</math>, we must have that	+
-	<math>~~\left~~( {1}/{\ln 2~~}\; \right~~)^{2}>1</math>, i.e. the right-hand side is positive.	+

	The equation therefore has the solutions		The equation therefore has the solutions

-		+	{{Displayed math\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}
-	<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\~~left~~( \frac{1}{\ln 2} \~~right~~)^{2}-1,}</math>	+
-		+

	which can also be written as		which can also be written as

-		+	{{Displayed math\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-~~\left~~( \ln 2 ~~\right~~)^{2}}}{\ln 2}</math>	+

Ian um 11:41, 26. Sep. 2008

Ian — Fri, 26 Sep 2008 11:41:39 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:41, 26. Sep. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	Both left- and right-hand sides are positive for all values of
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_4_3a~~-1(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>x</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation.
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_4_3a~~-2(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	LHS
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	<math>=\ln 2^{-x^{2}}=-x^{2}\centerdot \ln 2,</math>
		+
		+	RHS
		+	<math>=\ln \left( 2e^{2x} \right)=\ln 2+\ln e^{2x}=\ln 2+2x\centerdot \ln e=\ln 2+2x\centerdot 1</math>
		+
		+
		+	After a little rearranging, the equation becomes
		+
		+
		+	<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0</math>
		+
		+	We complete the square of the left-hand side
		+
		+
		+	<math>\left( x+\frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}+1=0</math>
		+
		+
		+	and move the constant terms over to the right-hand side:
		+
		+
		+	<math>\left( x+\frac{1}{\ln 2} \right)^{2}=\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-1</math>
		+
		+
		+	It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that
		+	<math>e>2</math>
		+	and that thus
		+	<math>\text{ln 2}<\ln e=\text{1}</math>, we must have that
		+	<math>\left( {1}/{\ln 2}\; \right)^{2}>1</math>, i.e. the right-hand side is positive.
		+
		+	The equation therefore has the solutions
		+
		+
		+	<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\left( \frac{1}{\ln 2} \right)^{2}-1,}</math>
		+
		+
		+	which can also be written as
		+
		+
		+	<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-\left( \ln 2 \right)^{2}}}{\ln 2}</math>

← Nächstältere Version		Version vom 08:46, 22. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	Both left- and right-hand sides are positive for all values of ''x'' and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation,		Both left- and right-hand sides are positive for all values of ''x'' and this means that we can take the logarithm of both sides and get a more manageable equation,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{LHS} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]		\text{LHS} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt]
	\text{RHS} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}		\text{RHS} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.}
Zeile 8:		Zeile 8:
	After a little rearranging, the equation becomes		After a little rearranging, the equation becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}</math>}}

	We complete the square of the left-hand side,		We complete the square of the left-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,</math>}}

	and move the constant terms over to the right-hand side,		and move the constant terms over to the right-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}</math>}}

	It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that <math>e > 2</math> and that thus <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>, we must have that <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, i.e. the right-hand side is positive.		It can be difficult to see whether the right-hand side is positive or not, but if we remember that <math>e > 2</math> and that thus <math>\ln 2 < \ln e = 1\,</math>, we must have that <math>(1/\ln 2)^{2} > 1\,</math>, i.e. the right-hand side is positive.
Zeile 22:		Zeile 22:
	The equation therefore has the solutions		The equation therefore has the solutions

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,</math>}}

	which can also be written as		which can also be written as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}</math>}}