Lösung 3.4:2b - Versionsgeschichte

Moni: englisches Wort

Moni — Thu, 06 Aug 2009 09:09:44 GMT

englisches Wort

← Nächstältere Version		Version vom 09:09, 6. Aug. 2009
Zeile 19:		Zeile 19:
	Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für <math>e^{x}</math>,		Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für <math>e^{x}</math>,

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{oder}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

	Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.		Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.

Markus.bez um 13:48, 12. Jun. 2009

Markus.bez — Fri, 12 Jun 2009 13:48:31 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:48, 12. Jun. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir schreiben die Gleichung ~~wie~~	+	Wir schreiben die Gleichung als

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}

-	und sehen dass <math>x</math> nur in den <math>e^{x}</math>-Termen vorkommt~~, und daher~~ betrachten wir <math>e^{x}</math> als ~~unbekannter Variabel~~. Wenn wir <math>e^{x}</math> bestimmt haben, bestimmen wir <math>x</math> indem wir die Gleichung logarithmieren.	+	und sehen, dass <math>x</math> nur in den <math>e^{x}</math>-Termen vorkommt. Daher betrachten wir <math>e^{x}</math> als unbekannte Variable. Wenn wir <math>e^{x}</math> bestimmt haben, bestimmen wir <math>x</math>, indem wir die Gleichung logarithmieren.

-	Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir <math>t=e^{x}</math>, und erhalten so die Gleichung	+	Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir <math>t=e^{x}</math> und erhalten so die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}
Zeile 21:		Zeile 21:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die ~~Linke~~ Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.	+	Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.
-	Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten	+	Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-	Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir ob <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> die Gleichung <math>t^2+t=4</math> erfüllt,	+	Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig, die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir, ob <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> die Gleichung <math>t^2+t=4</math> erfüllt:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

Martin um 16:39, 27. Mär. 2009

Martin — Fri, 27 Mar 2009 16:39:50 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 16:39, 27. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~If we write the equation as~~	+	Wir schreiben die Gleichung wie

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}

-	~~we see that~~ <math>x</math> ~~appears only~~ in ~~the combination~~ <math>e^{x}</math> ~~and it is therefore appropriate to treat~~ <math>e^{x}</math> ~~as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of~~ <math>e^{x}</math>, ~~we can calculate the corresponding value of~~ <math>x</math> ~~by simply taking the logarithm~~.	+	und sehen dass <math>x</math> nur in den <math>e^{x}</math>-Termen vorkommt, und daher betrachten wir <math>e^{x}</math> als unbekannter Variabel. Wenn wir <math>e^{x}</math> bestimmt haben, bestimmen wir <math>x</math> indem wir die Gleichung logarithmieren.

-	~~For clarity~~, ~~we set~~ <math>t=e^{x}</math>, so ~~that the equation can be written as~~	+	Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir <math>t=e^{x}</math>, und erhalten so die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}

-	~~and we solve this second-degree equation by completing the square~~,	+	Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}

-	~~which gives~~	+	und wir erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~These two roots give us two possible values for~~ <math>e^{x}</math>,	+	Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für <math>e^{x}</math>,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~In the first case~~, ~~the right-hand side is negative and because "''e'' raised to anything" can never be negative~~, ~~there is no ''x'' that can satisfy this equality~~. ~~The other case~~, ~~on the other hand~~, ~~has a positive right-hand side (because~~	+	Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die Linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung.
-	~~<math>\sqrt{17}>1</math>) and we can take the logarithm of both sides to obtain~~	+	Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}

-		+	Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir ob <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> die Gleichung <math>t^2+t=4</math> erfüllt,
-	~~Note~~: ~~It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting~~ <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> ~~into the equation~~ <math>t^2+t=4</math>,	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	\text{~~LHS~~}	+	\text{Linke Seite}
	&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]		&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]
	&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]		&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]
Zeile 37:		Zeile 36:
	&=\frac{16}{4}\\[5pt]		&=\frac{16}{4}\\[5pt]
	&= 4\\[5pt]		&= 4\\[5pt]
-	&= \text{~~RHS~~.}	+	&= \text{Rechte Seite.}
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

Tekbot: hat „Solution 3.4:2b“ nach „Lösung 3.4:2b“ verschoben: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 14:41:44 GMT

hat „Solution 3.4:2b“ nach „Lösung 3.4:2b“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:41, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 08:46:18 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 10:18, 7. Okt. 2008

Tek — Tue, 07 Oct 2008 10:18:25 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:18, 7. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	If we write the equation as		If we write the equation as

		+	{{Displayed math\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}

		+	we see that <math>x</math> appears only in the combination <math>e^{x}</math> and it is therefore appropriate to treat <math>e^{x}</math> as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of <math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of <math>x</math> by simply taking the logarithm.

-	~~<math>\left( e^{x} \right)^{2}+e^{x}=4</math>~~	+	For clarity, we set <math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as
-		+
-		+
-	~~we see that~~	+
-	~~<math>x</math>~~	+
-	~~appears only in the combination~~	+
-	~~<math>e^{x}</math>~~	+
-	~~and it is therefore appropriate to treat~~	+
-	~~<math>e^{x}</math>~~	+
-	~~as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of~~	+
-	~~<math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of~~	+
-	~~<math>x</math>~~	+
-	~~by simply taking the logarithm.~~	+
-		+
-	For clarity, we set	+
-	<math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as	+
-		+
-		+
-	~~<math>t^{2}+t=4</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}

	and we solve this second-degree equation by completing the square,		and we solve this second-degree equation by completing the square,

-		+	{{Displayed math\|\|<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}
-	<math>t^{2}+t=\~~left~~( t+\frac{1}{2} \~~right~~)^{2}-\~~left~~( \frac{1}{2} \~~right~~)^{2}=\~~left~~( t+\frac{1}{2} \~~right~~)^{2}-\frac{1}{4}</math>	+
-		+

	which gives		which gives

		+	{{Displayed math\|\|<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~<math>\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}=4\quad \Leftrightarrow \quad t=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}</math>~~	+	These two roots give us two possible values for <math>e^{x}</math>,
-		+
-		+
-	These two roots give us two possible values for	+
-	<math>e^{x}</math>,	+
-		+
-		+
-	~~<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}</math>~~	+
-	or	+
-	~~<math>e^{x}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~In the first case, the right-hand side is negative and because "~~	+
-	~~<math>e</math>~~	+
-	~~raised to anything" can never be negative, there is no~~	+
-	~~<math>x</math>~~	+
-	~~that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because~~	+
-	~~<math>\sqrt{17}>1</math>~~	+
-	~~) and we can take the logarithm of both sides to obtain~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>x=\ln \left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~NOTE: It~~ is ~~a little tricky to check the answer~~ to the ~~original equation~~, ~~so we can be satisfied with substituting~~	+	In the first case, the right-hand side is negative and because "''e'' raised to anything" can never be negative, there is no ''x'' that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because
-	<math>~~t=\frac{~~\sqrt{17}~~}{2}-\frac{~~1~~}{2}~~</math>	+	<math>\sqrt{17}>1</math>) and we can take the logarithm of both sides to obtain
-	~~into~~ the ~~equation~~	+
-	~~<math>t^{\text{2}}+t=\text{4}</math>,~~	+

-	~~LHS~~	+	{{Displayed math\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>=</math>	+

-
-	<math>\begin{align}
-	& =\left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)=\frac{17}{4}-2\centerdot \frac{1}{2}\centerdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \\
-	& =\frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{17+1-2}{4}=\frac{16}{4}=4= \\
-	\end{align}</math>

		+	Note: It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> into the equation <math>t^2+t=4</math>,

-	<math>=</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	~~RHS.~~	+	\text{LHS}
		+	&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]
		+	&= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\[5pt]
		+	&= \frac{17+1-2}{4}\\[5pt]
		+	&=\frac{16}{4}\\[5pt]
		+	&= 4\\[5pt]
		+	&= \text{RHS.}
		+	\end{align}</math>}}

Ian um 11:44, 6. Okt. 2008

Ian — Mon, 06 Oct 2008 11:44:11 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:44, 6. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	If we write the equation as
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_4_2b~~-1(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_4_2b~~-2(2)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>\left( e^{x} \right)^{2}+e^{x}=4</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
		+
		+	we see that
		+	<math>x</math>
		+	appears only in the combination
		+	<math>e^{x}</math>
		+	and it is therefore appropriate to treat
		+	<math>e^{x}</math>
		+	as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of
		+	<math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of
		+	<math>x</math>
		+	by simply taking the logarithm.
		+
		+	For clarity, we set
		+	<math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as
		+
		+
		+	<math>t^{2}+t=4</math>
		+
		+
		+	and we solve this second-degree equation by completing the square,
		+
		+
		+	<math>t^{2}+t=\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\left( \frac{1}{2} \right)^{2}=\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}</math>
		+
		+
		+	which gives
		+
		+
		+	<math>\left( t+\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{1}{4}=4\quad \Leftrightarrow \quad t=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}</math>
		+
		+
		+	These two roots give us two possible values for
		+	<math>e^{x}</math>,
		+
		+
		+	<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}</math>
		+	or
		+	<math>e^{x}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}</math>
		+
		+
		+	In the first case, the right-hand side is negative and because "
		+	<math>e</math>
		+	raised to anything" can never be negative, there is no
		+	<math>x</math>
		+	that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because
		+	<math>\sqrt{17}>1</math>
		+	) and we can take the logarithm of both sides to obtain
		+
		+
		+	<math>x=\ln \left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)</math>
		+
		+
		+	NOTE: It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting
		+	<math>t=\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}</math>
		+	into the equation
		+	<math>t^{\text{2}}+t=\text{4}</math>,
		+
		+	LHS
		+	<math>=</math>
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& =\left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)^{2}+\left( \frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \right)=\frac{17}{4}-2\centerdot \frac{1}{2}\centerdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2} \\
		+	& =\frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{17+1-2}{4}=\frac{16}{4}=4= \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	<math>=</math>
		+	RHS.

Tekbot: Lösning 3.4:2b moved to Solution 3.4:2b: Robot: moved page

Tekbot — Tue, 09 Sep 2008 09:31:23 GMT

Lösning 3.4:2b moved to Solution 3.4:2b: Robot: moved page

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Version vom 09:31, 9. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

Tekbot — Thu, 21 Aug 2008 07:02:49 GMT

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 07:02, 21. Aug. 2008
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	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_4_2b-1(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_4_2b-1(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
	{{NAVCONTENT_START}}		{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[~~Bild~~:3_4_2b-2(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:3_4_2b-2(2).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar: Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_4_2b-1(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} Bild:3_4_2b-2(2).gif {{NAVCONTENT_STOP}}

Oskar — Wed, 02 Apr 2008 11:29:21 GMT

Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_4_2b-1(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}} {{NAVCONTENT_START}} <center> Bild:3_4_2b-2(2).gif </center> {{NAVCONTENT_STOP}}

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<center> [[Bild:3_4_2b-1(2).gif]] </center>
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<center> [[Bild:3_4_2b-2(2).gif]] </center>
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← Nächstältere Version		Version vom 08:46, 22. Okt. 2008
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	If we write the equation as		If we write the equation as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4</math>}}

	we see that <math>x</math> appears only in the combination <math>e^{x}</math> and it is therefore appropriate to treat <math>e^{x}</math> as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of <math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of <math>x</math> by simply taking the logarithm.		we see that <math>x</math> appears only in the combination <math>e^{x}</math> and it is therefore appropriate to treat <math>e^{x}</math> as a new unknown in the equation and then, when we have obtained the value of <math>e^{x}</math>, we can calculate the corresponding value of <math>x</math> by simply taking the logarithm.
Zeile 7:		Zeile 7:
	For clarity, we set <math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as		For clarity, we set <math>t=e^{x}</math>, so that the equation can be written as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t=4</math>}}

	and we solve this second-degree equation by completing the square,		and we solve this second-degree equation by completing the square,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,</math>}}

	which gives		which gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

	These two roots give us two possible values for <math>e^{x}</math>,		These two roots give us two possible values for <math>e^{x}</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}</math>}}

	In the first case, the right-hand side is negative and because "''e'' raised to anything" can never be negative, there is no ''x'' that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because		In the first case, the right-hand side is negative and because "''e'' raised to anything" can never be negative, there is no ''x'' that can satisfy this equality. The other case, on the other hand, has a positive right-hand side (because
	<math>\sqrt{17}>1</math>) and we can take the logarithm of both sides to obtain		<math>\sqrt{17}>1</math>) and we can take the logarithm of both sides to obtain

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}</math>}}


	Note: It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> into the equation <math>t^2+t=4</math>,		Note: It is a little tricky to check the answer to the original equation, so we can be satisfied with substituting <math>t=\sqrt{17}/2-1/2</math> into the equation <math>t^2+t=4</math>,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\text{LHS}		\text{LHS}
	&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]		&= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt]