Lösung 3.2:1 - Versionsgeschichte

Moni: (*) an falscher Stelle

Moni — Wed, 05 Aug 2009 21:41:59 GMT

(*) an falscher Stelle

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Zeile 1:		Zeile 1:
	Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung		Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>\|(*)}}

	Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.		Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.
Zeile 7:		Zeile 7:
	Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung		Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>~~\|(*)~~}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>}}

	d.h.		d.h.
Zeile 32:		Zeile 32:
	:*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>		:*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>

-	hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische ~~Glaichung~~ erfüllen:	+	hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Gleichung (*) erfüllen:

	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>		:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>

Bayerer um 12:30, 23. Jul. 2009

Bayerer — Thu, 23 Jul 2009 12:30:01 GMT

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Zeile 34:		Zeile 34:
	hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Glaichung erfüllen:		hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Glaichung erfüllen:

-	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> ~~and~~ <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>	+	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>

-	:*''x'' = 8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> ~~and~~ <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>	+	:*''x'' = 8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>

	Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:		Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

-	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> ~~and~~ <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>	+	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>

-	:*''x'' = 8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> ~~and~~ <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>	+	:*''x'' = 8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> und <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>

	Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.		Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.

	Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.		Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

Markus.bez um 11:42, 10. Jun. 2009

Markus.bez — Wed, 10 Jun 2009 11:42:08 GMT

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Zeile 9:		Zeile 9:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}

-	i.e.	+	d.h.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 24:		Zeile 24:
	und erhalten die Gleichung		und erhalten die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}\,,</math>}}

-	die, die Lösungen	+	die die Lösungen

	:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>		:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
Zeile 46:		Zeile 46:
	Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.		Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.

-	Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir ~~nicht~~ falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch ~~die Quadrierung~~ der Gleichung.	+	Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nichts falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch Quadrieren der Gleichung.

Martin um 12:14, 26. Mär. 2009

Martin — Thu, 26 Mar 2009 12:14:55 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:14, 26. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides~~	+	Wir quadrieren zuerst beide Seiten der Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}

-	~~It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end~~, ~~it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also~~.	+	Wir müssen uns daran erinnern, dass dies eine neue Gleichung ist, die Scheinlösungen enthalten kann. Deshalb müssen wir zum Schluss unsere Lösungen in der ursprünglichen Gleichung testen.

-	~~If we continue with the squared equation and expand the right-hand side~~, ~~we get a second order equation~~	+	Wenn wir die rechte Seite der Gleichung erweitern, bekommen wir eine quadratische Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}
Zeile 13:		Zeile 13:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~We complete the square of the left-hand side~~	+	Wir benutzen quadratische Ergänzung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
Zeile 22:		Zeile 22:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~which gives the equation~~	+	und erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}

-	~~which has the solutions~~	+	die, die Lösungen

	:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>		:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>
Zeile 32:		Zeile 32:
	:*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>		:*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>

-	~~Just to be on the safe side~~, ~~we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting~~ <math>x=5</math> ~~and~~ <math>x=8</math> ~~into it~~:	+	hat. Um sicher zu sein, kontrollieren wir ob die Lösungen <math>x=5</math> und <math>x=8</math> die quadratische Glaichung erfüllen:

-	:*''x'' = 5: <math>\ \text{~~LHS~~} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{~~RHS~~} = (6-5)^2 = 1</math>	+	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-5)^2 = 1</math>

-	:*''x'' = 8: <math>\ \text{~~LHS~~} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{~~RHS~~} = (6-8)^{2} = 4</math>	+	:*''x'' = 8: <math>\ \text{Linke Seite} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{Rechte Seite} = (6-8)^{2} = 4</math>

-	~~Then, we must test the solutions <math>x=5</math> and <math>x=8</math>~~ in ~~the original equation~~:	+	Jetzt müssen wir unbedingt unsere beiden Lösungen in der ursprünglichen Gleichung substituieren:

-	:*''x'' = 5: <math>\ \text{~~LHS~~} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{~~RHS~~} = 6-5 = 1</math>	+	:*''x'' = 5: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-5 = 1</math>

-	:*''x'' = 8: <math>\ \text{~~LHS~~} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{~~RHS~~} = 6-8 = -2</math>	+	:*''x'' = 8: <math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{Rechte Seite} = 6-8 = -2</math>

-	~~This shows that~~ <math>x=5</math> ~~is a solution to the original equation~~, ~~whilst~~	+	Also ist <math>x=5</math> eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, während <math>x=8</math> eine Scheinlösung ist.
-	<math>x=8</math> ~~is a spurious root~~.	+

-		+	Hinweis: Nur weil wir Scheinlösungen erhalten, haben wir nicht falsch gerechnet. Scheinlösungen entstehen durch die Quadrierung der Gleichung.
-	~~Note~~: ~~That we get a spurious root does not mean that we calculated incorrectly~~, ~~but is totally the result of squaring the equation~~.	+

Tekbot: hat „Solution 3.2:1“ nach „Lösung 3.2:1“ verschoben: Robot: moved page

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 14:27:45 GMT

hat „Solution 3.2:1“ nach „Lösung 3.2:1“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:27, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tekbot — Wed, 22 Oct 2008 08:40:28 GMT

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 08:40, 22. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides		In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}

	It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.		It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.
Zeile 7:		Zeile 7:
	If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation		If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}

	i.e.		i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}

	We complete the square of the left-hand side		We complete the square of the left-hand side

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	x^2-13x+40		x^2-13x+40
	&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt]		&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt]
Zeile 24:		Zeile 24:
	which gives the equation		which gives the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}

	which has the solutions		which has the solutions

Tek um 11:17, 1. Okt. 2008

Tek — Wed, 01 Oct 2008 11:17:25 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 11:17, 1. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides:	+	In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides
-		+
-		+
-	~~<math>x-4=\left( 6-x \right)^{2}</math>~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>x-4 = (6-x)^2\,\textrm{.}</math>}}

	It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.		It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.
Zeile 9:		Zeile 7:
	If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation		If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation

-		+	{{Displayed math\|\|<math>x-4=36-12x+x^{2}\,\textrm{,}</math>\|(*)}}
-	~~(*)~~	+
-	<math>x-4=36-12x+x^{2}</math>	+
-		+

	i.e.		i.e.

-		+	{{Displayed math\|\|<math>x^{2}-13x+40=0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x^{2}-~~12x~~+40=0</math>	+
-		+

	We complete the square of the left-hand side		We complete the square of the left-hand side

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{align}
-	<math>\begin{align}	+	x^2-13x+40
-	& x^{2}-~~12x~~+40=\~~left~~( x-\frac{13}{2} \~~right~~)^{2}-\~~left~~( \frac{13}{2} \~~right~~)^{2}+40 \\	+	&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{13}{2}\Bigr)^2 + 40\\[5pt]
-	& =\~~left~~( x-\frac{13}{2} \~~right~~)^{2}-\frac{169}{4}+\frac{160}{4}=\~~left~~( x-\frac{13}{2} \~~right~~)^{2}-\frac{9}{4} \\	+	&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{169}{4} + \frac{160}{4}\\[5pt]
-	\end{align}</math>	+	&= \Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^{2} - \frac{9}{4}\,\textrm{,}
-		+	\end{align}</math>}}

	which gives the equation		which gives the equation

-		+	{{Displayed math\|\|<math>\Bigl(x-\frac{13}{2}\Bigr)^2 = \frac{9}{4}</math>}}
-	<math>\~~left~~( x-\frac{13}{2} \~~right~~)^{2}=\frac{9}{4}</math>	+
-		+

	which has the solutions		which has the solutions

		+	:*<math>x = \frac{13}{2} + \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} + \frac{3}{2} = \frac{16}{2} = 8\,,</math>

-	<math>x=\frac{13}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{13}{2}+\frac{3}{2}=\frac{16}{2}=~~8</math>~~	+	:*<math>x = \frac{13}{2} - \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{13}{2} - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5\,\textrm{.}</math>
-		+
-		+
-	~~<math>x=~~\~~frac{13}{2}-~~\~~sqrt~~{~~\frac{9~~}~~{4}}=\frac{13}{2}-\frac{3}{2}=\frac{10}{2}=5~~</math>	+
-		+
-		+
-	~~Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting x=5 and x=8 into it.~~	+
-		+

-	<math>x=~~\text{~~5}</math>~~: LHS~~	+	Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting <math>x=5</math> and <math>x=8</math> into it:
-	~~<math>=5-4=1</math>~~	+
-	and ~~RHS~~	+
-	<math>=~~\left( 6-5 \right)^{2}=1~~</math>	+

		+	:*''x'' = 5: <math>\ \text{LHS} = 5-4 = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-5)^2 = 1</math>

-	<math>x=\text{8}~~</math>: LHS~~	+	:*''x'' = 8: <math>\ \text{LHS} = 8-4 = 4\ </math> and <math>\ \text{RHS} = (6-8)^{2} = 4</math>
-	~~<math>~~=8-4=4</math>	+
-	and ~~RHS~~	+
-	<math>=~~\left~~( 6-8 ~~\right~~)^{2}=4</math>	+

		+	Then, we must test the solutions <math>x=5</math> and <math>x=8</math> in the original equation:

-	~~Then, we must test the solutions~~ x=5 and x=~~8 in the original equation:~~	+	:*''x'' = 5: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{5-4} = 1\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-5 = 1</math>

-	x=5: ~~LHS~~	+	:*''x'' = 8: <math>\ \text{LHS} = \sqrt{8-4} = 2\ </math> and <math>\ \text{RHS} = 6-8 = -2</math>
-	<math>=\sqrt{5-4}=1</math>	+
-	and ~~RHS~~	+
-	<math>=6-5=1</math>	+

-	~~x=8: LHS~~	+	This shows that <math>x=5</math> is a solution to the original equation, whilst
-	<math>=~~\sqrt{8-4}=2~~</math>	+	<math>x=8</math> is a spurious root.
-	~~and RHS~~	+
-	<math>=6-8~~=-2~~</math>	+
-		+

-	This shows that
-	<math>x=\text{5 }</math>
-	is a solution to the original equation, whilst
-	<math>x=\text{8 }</math>
-	is a false root.

-	~~NOTE~~: That we get a ~~false~~ root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation.	+	Note: That we get a spurious root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation.

Ian um 10:29, 25. Sep. 2008

Ian — Thu, 25 Sep 2008 10:29:10 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:29, 25. Sep. 2008
Zeile 10:		Zeile 10:


		+	(*)
	<math>x-4=36-12x+x^{2}</math>		<math>x-4=36-12x+x^{2}</math>

Ian um 12:16, 23. Sep. 2008

Ian — Tue, 23 Sep 2008 12:16:07 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:16, 23. Sep. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	In order to get rid of the root sign in the equation, we square both sides:
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_2_1~~-1(3).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>x-4=\left( 6-x \right)^{2}</math>
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_2_1~~-2(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	It is important to remember that this step means that we are now working with a new equation which may have solutions which the equation that we started with did not have. At the end, it will therefore be necessary for us to check that the solutions that we calculate satisfy the original equation also.
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_2_1~~-3(3).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	If we continue with the squared equation and expand the right-hand side, we get a second order equation
		+
		+
		+	<math>x-4=36-12x+x^{2}</math>
		+
		+
		+	i.e.
		+
		+
		+	<math>x^{2}-12x+40=0</math>
		+
		+
		+	We complete the square of the left-hand side
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& x^{2}-12x+40=\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}-\left( \frac{13}{2} \right)^{2}+40 \\
		+	& =\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}-\frac{169}{4}+\frac{160}{4}=\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}-\frac{9}{4} \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+
		+	which gives the equation
		+
		+
		+	<math>\left( x-\frac{13}{2} \right)^{2}=\frac{9}{4}</math>
		+
		+
		+	which has the solutions
		+
		+
		+	<math>x=\frac{13}{2}+\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{13}{2}+\frac{3}{2}=\frac{16}{2}=8</math>
		+
		+
		+	<math>x=\frac{13}{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{13}{2}-\frac{3}{2}=\frac{10}{2}=5</math>
		+
		+
		+	Just to be on the safe side, we check whether we have solved the second-order equation (*) correctly by substituting x=5 and x=8 into it.
		+
		+
		+	<math>x=\text{5}</math>: LHS
		+	<math>=5-4=1</math>
		+	and RHS
		+	<math>=\left( 6-5 \right)^{2}=1</math>
		+
		+
		+	<math>x=\text{8}</math>: LHS
		+	<math>=8-4=4</math>
		+	and RHS
		+	<math>=\left( 6-8 \right)^{2}=4</math>
		+
		+
		+	Then, we must test the solutions x=5 and x=8 in the original equation:
		+
		+	x=5: LHS
		+	<math>=\sqrt{5-4}=1</math>
		+	and RHS
		+	<math>=6-5=1</math>
		+
		+	x=8: LHS
		+	<math>=\sqrt{8-4}=2</math>
		+	and RHS
		+	<math>=6-8=-2</math>
		+
		+
		+	This shows that
		+	<math>x=\text{5 }</math>
		+	is a solution to the original equation, whilst
		+	<math>x=\text{8 }</math>
		+	is a false root.
		+
		+	NOTE: That we get a false root does not mean that we calculated incorrectly, but is totally the result of squaring the equation.

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Tekbot — Tue, 09 Sep 2008 09:17:23 GMT

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