Lösung 2.2:9c - Versionsgeschichte

Tek: Replaced figures with metapost figure

Tek — Tue, 18 Aug 2009 14:48:59 GMT

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Zeile 2:		Zeile 2:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c-1(5)_1~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The region x + y ≥ 2}}
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c-1(5)_2~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The region 2x - y ≤ 2}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet ''x'' + ''y'' ≥ -2</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet ''x'' + ''y'' ≥ -2</small>
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''x'' - ''y'' ≤ 2</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''x'' - ''y'' ≤ 2</small>
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c-1(5)_3~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The region 2y - x ≤ 2}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''y'' - ''x'' ≤ 2</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''y'' - ''x'' ≤ 2</small>
Zeile 16:		Zeile 16:


-	~~[[Image~~:~~2_2_9_c-~~2~~(5)~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle defined by x + y ≥ 2, 2x - y ≤ 2 and 2y - x ≤ 2}}</center>


Zeile 95:		Zeile 95:


-	~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-3(5)~~.gif\|~~center]]	+	<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)}}</center>


Zeile 105:		Zeile 105:


-	~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-4(5)~~.gif\|~~center]]	+	<center>{{:2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)}}</center>

	Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist		Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
Zeile 117:		Zeile 117:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|colspan=3 align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-~~5(5)~~-~~1_de.gif]]~~	+	\|colspan=3 align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The left-most triangles with a base and height}}
	\|\|		\|\|
-	\|colspan=3 align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-~~5(5)~~-~~2_de.gif]]~~	+	\|colspan=3 align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height}}
	\|-		\|-
	\|align="right"\|Basis		\|align="right"\|Basis

Moni um 09:26, 9. Aug. 2009

Moni — Sun, 09 Aug 2009 09:26:38 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 09:26, 9. Aug. 2009
Zeile 25:		Zeile 25:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
	(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad		(2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad
-	\text{~~and~~}\qquad	+	\text{und}\qquad
	(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}		(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}

Moni: falsche Variable, eine Zahl hat gefehlt

Moni — Wed, 05 Aug 2009 10:09:36 GMT

falsche Variable, eine Zahl hat gefehlt

← Nächstältere Version		Version vom 10:09, 5. Aug. 2009
Zeile 78:		Zeile 78:
	\|\|		\|\|
	\|\|		\|\|
-	\|align="right"\|<math>3x</math>	+	\|align="right"\|<math>3y</math>
	\|\|<math>{}={}</math>		\|\|<math>{}={}</math>
	\|align="right"\|<math>0</math>		\|align="right"\|<math>0</math>
Zeile 87:		Zeile 87:
	<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.		<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}

	Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>		Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>

Bayerer um 15:06, 30. Jul. 2009

Bayerer — Thu, 30 Jul 2009 15:06:27 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:06, 30. Jul. 2009
Zeile 117:		Zeile 117:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-1.gif]]	+	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-1_de.gif]]
	\|\|		\|\|
-	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]	+	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2_de.gif]]
	\|-		\|-
	\|align="right"\|Basis		\|align="right"\|Basis

Markus.bez: Sprache und Formulierung

Markus.bez — Tue, 09 Jun 2009 10:05:50 GMT

Sprache und Formulierung

← Nächstältere Version		Version vom 10:05, 9. Jun. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir zeichnen zuerst die Gebiete die durch die drei Ungleichungen entstehen.	+	Wir zeichnen zuerst die Gebiete, die durch die drei Ungleichungen entstehen.

	{\| align="center"		{\| align="center"
Zeile 13:		Zeile 13:
	\|}		\|}

-	Das Dreieck ist das Gebiet ~~dass~~ wo die Punkte alle ~~dre~~ Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet ~~das alle~~ grau ~~gefärbten Gebiete enthält~~.	+	Das Dreieck ist das Gebiet, wo die Punkte alle drei Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet, welches in allen einzelnen Bildern grau gefärbt ist.


Zeile 19:		Zeile 19:


-	Als ~~erster~~ Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die ~~also auch~~ die Ecken ~~des~~ Dreiecks sind.	+	Als ersten Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die dann die Ecken dieses Dreiecks sind.

-	Die drei Ecken müssen jeweils die ~~Drei~~ Gleichungssysteme unten erfüllen	+	Die drei Ecken müssen jeweils die drei Gleichungssysteme unten erfüllen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
Zeile 30:		Zeile 30:

	<ol>		<ol>
-	<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir indem wir die beiden Gleichungen addieren	+	<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir, indem wir die beiden Gleichungen addieren
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 102:		Zeile 102:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}

-	berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante ~~mit der~~ ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.	+	berechnen, ist das Problem, die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante zur ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.


	[[Image:2_2_9_c-4(5).gif\|center]]		[[Image:2_2_9_c-4(5).gif\|center]]

-	Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist	+	Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}

-	Die Schnittstelle, ~~und~~ der Punkt A, ist ~~also~~ (0,1).	+	Die Schnittstelle, also der Punkt A, ist (0,1).

-	Jetzt können wir einfach die Flächen ~~des~~ beiden ~~Dreiecken~~ berechnen	+	Jetzt können wir einfach die Flächen der beiden Dreiecke berechnen


Zeile 147:		Zeile 147:


-	Schließlich addieren wir die Flächen der beiden ~~Dreiecken~~, um die gesamte Fläche zu erhalten:	+	Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecke, um die gesamte Fläche zu erhalten:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 17:06, 13. Mär. 2009

Martin — Fri, 13 Mar 2009 17:06:27 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:06, 13. Mär. 2009
Zeile 149:		Zeile 149:
	Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:		Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{~~Area~~} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 17:05, 13. Mär. 2009

Martin — Fri, 13 Mar 2009 17:05:45 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:05, 13. Mär. 2009
Zeile 5:		Zeile 5:
	\|align="center"\|[[Image:2_2_9_c-1(5)_2.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_2_9_c-1(5)_2.gif\|center]]
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|<small>~~The region~~ ''x'' + ''y'' ≥ -2</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet ''x'' + ''y'' ≥ -2</small>
-	\|align="center"\|<small>~~The region~~ 2''x'' - ''y'' ≤ 2</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''x'' - ''y'' ≤ 2</small>
	\|-		\|-
	\|align="center"\|[[Image:2_2_9_c-1(5)_3.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_2_9_c-1(5)_3.gif\|center]]
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|<small>~~The region~~ 2''y'' - ''x'' ≤ 2</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''y'' - ''x'' ≤ 2</small>
	\|}		\|}

Martin um 17:04, 13. Mär. 2009

Martin — Fri, 13 Mar 2009 17:04:07 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:04, 13. Mär. 2009
Zeile 100:		Zeile 100:
	Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung		Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(~~base~~)}\cdot\text{(~~height~~)}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}

	berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.		berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
Zeile 121:		Zeile 121:
	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]		\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]
	\|-		\|-
-	\|align="right"\|~~base~~	+	\|align="right"\|Basis
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|1 - (-2) = 3		\|align="left"\|1 - (-2) = 3
	\|width="10"\|		\|width="10"\|
-	\|align="right"\|~~base~~	+	\|align="right"\|Basis
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|1 - (-2) = 3		\|align="left"\|1 - (-2) = 3
	\|-		\|-
-	\|align="right"\|~~height~~	+	\|align="right"\|Höhe
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|0 - (-2) = 2		\|align="left"\|0 - (-2) = 2
	\|width="10"\|		\|width="10"\|
-	\|align="right"\|~~height~~	+	\|align="right"\|Höhe
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|2 - 0 = 2		\|align="left"\|2 - 0 = 2
	\|-		\|-
-	\|align="right"\|~~area~~	+	\|align="right"\|Fläche
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|½·3·2 = 3		\|align="left"\|½·3·2 = 3
	\|\|		\|\|
-	\|align="right"\|~~area~~	+	\|align="right"\|Fläche
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|½·3·2 = 3		\|align="left"\|½·3·2 = 3
Zeile 147:		Zeile 147:


-	Schließlich addieren wir die Flächen ~~des~~ beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:	+	Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 17:01, 13. Mär. 2009

Martin — Fri, 13 Mar 2009 17:01:55 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 17:01, 13. Mär. 2009
Zeile 56:		Zeile 56:
	\|}		\|}

-	So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der ~~Glcihung~~ <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>	+	So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Gleichung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>
	<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren		<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
Zeile 100:		Zeile 100:
	Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung		Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{~~Area~~} = \tfrac{1}{2}\text{(base)}\cdot\text{(height)}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(base)}\cdot\text{(height)}</math>}}

	berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.		berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
Zeile 147:		Zeile 147:


-	~~Finally~~, ~~it remains only to add up the sub-areas to get the total area of the triangle~~:	+	Schließlich addieren wir die Flächen des beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 13:54, 13. Mär. 2009

Martin — Fri, 13 Mar 2009 13:54:52 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:54, 13. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~First, we draw the regions which the various inequalities define~~.	+	Wir zeichnen zuerst die Gebiete die durch die drei Ungleichungen entstehen.

	{\| align="center"		{\| align="center"
Zeile 13:		Zeile 13:
	\|}		\|}

-	~~The triangle is defined as those points which satisfy all inequalities~~, ~~which is the region which the three grey areas have in common~~.	+	Das Dreieck ist das Gebiet dass wo die Punkte alle dre Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet das alle grau gefärbten Gebiete enthält.


Zeile 19:		Zeile 19:


-	~~Before we start thinking about how we should calculate the area of the triangle~~, ~~we must determine the corner points of the triangle~~.	+	Als erster Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die also auch die Ecken des Dreiecks sind.

-	~~If we write equations for the edges in pairs~~	+	Die drei Ecken müssen jeweils die Drei Gleichungssysteme unten erfüllen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad
Zeile 28:		Zeile 28:
	(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}		(3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}}

-	we obtain an equation system which determines the points of intersections between respective pairs of lines, and these points correspond to the triangle's corners.

	<ol>		<ol>
-	<li>~~We can solve the first system by summing the two equations:~~	+	<li>Das erste Gleichungssystem lösen wir indem wir die beiden Gleichungen addieren
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 57:		Zeile 56:
	\|}		\|}

-	~~Thus, we obtain~~ <math>x=0</math> ~~and~~, ~~from the equation~~ <math>x+y=-2</math>~~, that~~ <math>y=-2</math>.</li>	+	So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Glcihung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li>
-	<li>~~In the same way, we sum the equations in the second system,~~	+	<li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren
	{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"		{\| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;"
	\|\|		\|\|
Zeile 84:		Zeile 83:
	\|}		\|}

-	~~which gives~~ <math>y=0</math> ~~and~~ <math>x=-2</math>.</li>	+	Wir erhalten also <math>y=0</math> und <math>x=-2</math>.</li>
-	<li>~~The final equation system is a little trickier to solve, but if we make~~ ''y'' ~~the subject~~ in ~~the first equation, so that~~ <math>y=2x-2</math>, ~~and substitute it into the second equation, we get~~	+
		+	<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The corresponding value for ''y'' is~~ <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>	+	Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>
	</ol>		</ol>

-	~~The triangle's corner points are thus~~ (0,-2), (-2,0) ~~and~~ (2,2).	+	Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2).


Zeile 98:		Zeile 98:


-	~~The problem we have in calculating the area of the triangle with the formula~~	+	Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = \tfrac{1}{2}\text{(base)}\cdot\text{(height)}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = \tfrac{1}{2}\text{(base)}\cdot\text{(height)}</math>}}

-	~~is that there is no natural base for the triangle~~, ~~since none of the edges are parallel with any of the coordinate axes. On the other hand~~, ~~what we can do is to divide up the triangle along the~~ ''y''-~~axis and obtain two sub-triangles where we use the~~ ''y''-~~axis as the base~~.	+	berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.


	[[Image:2_2_9_c-4(5).gif\|center]]		[[Image:2_2_9_c-4(5).gif\|center]]

-		+	Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
-	~~This division creates a new corner point for the triangles (marked~~ A ~~in the figure above) and we can determine it to be the intersection point between the line~~	+
-	<math>2y-x=\text{2 }</math> ~~and the~~ ''y''-~~axis~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}}

-	~~which gives that the new corner point is at~~ (0,1).	+	Die Schnittstelle, und der Punkt A, ist also (0,1).

-	~~We now have all the information we need for calculating the base, height and area of the two sub-triangles.~~	+	Jetzt können wir einfach die Flächen des beiden Dreiecken berechnen

← Nächstältere Version		Version vom 14:48, 18. Aug. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c-1(5)_1~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The region x + y ≥ 2}}
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c-1(5)_2~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The region 2x - y ≤ 2}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet ''x'' + ''y'' ≥ -2</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet ''x'' + ''y'' ≥ -2</small>
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''x'' - ''y'' ≤ 2</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''x'' - ''y'' ≤ 2</small>
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c-1(5)_3~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The region 2y - x ≤ 2}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''y'' - ''x'' ≤ 2</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet 2''y'' - ''x'' ≤ 2</small>
Zeile 16:		Zeile 16:


-	~~[[Image~~:~~2_2_9_c-~~2~~(5)~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle defined by x + y ≥ 2, 2x - y ≤ 2 and 2y - x ≤ 2}}</center>


Zeile 95:		Zeile 95:


-	~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-3(5)~~.gif\|~~center]]	+	<center>{{:2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)}}</center>


Zeile 105:		Zeile 105:


-	~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-4(5)~~.gif\|~~center]]	+	<center>{{:2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)}}</center>

	Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist		Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen, dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist
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	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|colspan=3 align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-~~5(5)~~-~~1_de.gif]]~~	+	\|colspan=3 align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The left-most triangles with a base and height}}
	\|\|		\|\|
-	\|colspan=3 align="center"\|~~[[Image~~:~~2_2_9_c~~-~~5(5)~~-~~2_de.gif]]~~	+	\|colspan=3 align="center"\|{{:2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height}}
	\|-		\|-
	\|align="right"\|Basis		\|align="right"\|Basis

← Nächstältere Version		Version vom 10:09, 5. Aug. 2009
Zeile 78:		Zeile 78:
	\|\|		\|\|
	\|\|		\|\|
-	\|align="right"\|<math>3x</math>	+	\|align="right"\|<math>3y</math>
	\|\|<math>{}={}</math>		\|\|<math>{}={}</math>
	\|align="right"\|<math>0</math>		\|align="right"\|<math>0</math>
Zeile 87:		Zeile 87:
	<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.		<li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-x+2\cdot(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}}

	Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>		Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li>

← Nächstältere Version		Version vom 15:06, 30. Jul. 2009
Zeile 117:		Zeile 117:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-1.gif]]	+	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-1_de.gif]]
	\|\|		\|\|
-	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]	+	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2_de.gif]]
	\|-		\|-
	\|align="right"\|Basis		\|align="right"\|Basis

← Nächstältere Version		Version vom 17:04, 13. Mär. 2009
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	Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung		Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(~~base~~)}\cdot\text{(~~height~~)}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}}

	berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.		berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist.
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	\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]		\|colspan=3 align="center"\|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]]
	\|-		\|-
-	\|align="right"\|~~base~~	+	\|align="right"\|Basis
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|1 - (-2) = 3		\|align="left"\|1 - (-2) = 3
	\|width="10"\|		\|width="10"\|
-	\|align="right"\|~~base~~	+	\|align="right"\|Basis
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|1 - (-2) = 3		\|align="left"\|1 - (-2) = 3
	\|-		\|-
-	\|align="right"\|~~height~~	+	\|align="right"\|Höhe
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|0 - (-2) = 2		\|align="left"\|0 - (-2) = 2
	\|width="10"\|		\|width="10"\|
-	\|align="right"\|~~height~~	+	\|align="right"\|Höhe
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|2 - 0 = 2		\|align="left"\|2 - 0 = 2
	\|-		\|-
-	\|align="right"\|~~area~~	+	\|align="right"\|Fläche
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|½·3·2 = 3		\|align="left"\|½·3·2 = 3
	\|\|		\|\|
-	\|align="right"\|~~area~~	+	\|align="right"\|Fläche
	\|align="center"\| =		\|align="center"\| =
	\|align="left"\|½·3·2 = 3		\|align="left"\|½·3·2 = 3
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-	Schließlich addieren wir die Flächen ~~des~~ beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:	+	Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}