3.4 Logarithmusgleichungen - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:32, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:32:29 GMT

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Zeile 24:		Zeile 24:
	* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.		* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
		+
	== A - Einfache Gleichungen ==		== A - Einfache Gleichungen ==

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

Tek — Wed, 02 Sep 2009 07:16:09 GMT

Added skype and exercise links at the bottom of the page

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Zeile 19:		Zeile 19:
	Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:		Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

-
	* Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.		* Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
	* Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.		* Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
Zeile 265:		Zeile 264:
	als die einzige Lösung der Gleichung.		als die einzige Lösung der Gleichung.
	</div>		</div>
		+	<br><br>
		+
		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>

		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.4 Übungen\|Übungen]]''' .

-	[[3.4 Übungen\|Übungen]]

	<div class="inforuta" style="width:580px;">		<div class="inforuta" style="width:580px;">

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

Tekbot — Fri, 28 Aug 2009 15:00:26 GMT

Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

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Zeile 274:		Zeile 274:
	'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''		'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''

-	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

	'''Bedenke folgendes:'''		'''Bedenke folgendes:'''

Tek: Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

Tek — Wed, 19 Aug 2009 08:51:09 GMT

Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

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Zeile 30:		Zeile 30:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\	+	10^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \lg y\\
-	e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\	+	e^x = y\quad&\Leftrightarrow\quad x = \ln y\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)		(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
Zeile 177:		Zeile 177:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1	+	\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1
-	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\	+	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\\
-	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\	+	&= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	Wir erhalten		Wir erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}</math>}}	+	\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{}</math>}}

	und daher die Lösungen		und daher die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}	+	x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2}
-	\quad \mbox{oder} \quad	+	\quad \mbox{oder} \quad
-	x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}	+	x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 217:		Zeile 217:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\textstyle x= -\frac{1}{2}	+	\textstyle x= -\frac{1}{2}
-	\quad\mbox{und}\quad	+	\quad\mbox{und}\quad
-	x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}	+	x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}

	Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von <math>(*)</math> positiv werden:		Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von <math>(*)</math> positiv werden:
Zeile 245:		Zeile 245:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2	+	\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
-	&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\	+	&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
-	\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2	+	\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
-	&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\	+	&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	und wir haben die Lösungen		und wir haben die Lösungen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}	+	t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
-	\quad\mbox{und}\quad	+	\quad\mbox{und}\quad
-	t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}	+	t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}

	Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten		Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}	+	x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)</math>}}

	als die einzige Lösung der Gleichung.		als die einzige Lösung der Gleichung.

Bayerer um 15:02, 14. Aug. 2009

Bayerer — Fri, 14 Aug 2009 15:02:22 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:02, 14. Aug. 2009
Zeile 25:		Zeile 25:
	* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.		* Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.
	}}		}}
-	== Einfache Gleichungen ==	+	== A - Einfache Gleichungen ==

	Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:		Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:
Zeile 137:		Zeile 137:


-	== Kompliziertere Gleichungen ==	+	== B - Kompliziertere Gleichungen ==

	Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannte Variable betrachtet.		Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "<math>\ln x</math>" oder "<math>e^x</math>" als unbekannte Variable betrachtet.
Zeile 196:		Zeile 196:


-	== Scheinlösungen ==	+	== C - Scheinlösungen ==

	Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.		Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass <math>e^{(\ldots)}</math> immer positiv ist. Sonst besteht das Risiko, dass wir Scheinlösungen bekommen.

Bayerer um 18:52, 13. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 13 Aug 2009 18:52:15 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:52, 13. Aug. 2009
Zeile 106:		Zeile 106:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
	Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,		Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
-	<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,	+	<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
	</ol>		</ol>

Bayerer um 18:51, 13. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 13 Aug 2009 18:51:14 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:51, 13. Aug. 2009
Zeile 86:		Zeile 86:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
-	also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.	+	also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Bayerer um 18:49, 13. Aug. 2009

Bayerer — Thu, 13 Aug 2009 18:49:50 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 18:49, 13. Aug. 2009
Zeile 74:		Zeile 74:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
	und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist		und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist
-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\\mbox{.} </math>}}</li>	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>

Moni um 10:47, 9. Aug. 2009

Moni — Sun, 09 Aug 2009 10:47:19 GMT

Moni: Wort noch auf englisch

Moni — Thu, 06 Aug 2009 08:42:39 GMT

Wort noch auf englisch

← Nächstältere Version		Version vom 08:42, 6. Aug. 2009
Zeile 218:		Zeile 218:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
	\textstyle x= -\frac{1}{2}		\textstyle x= -\frac{1}{2}
-	\quad\mbox{~~and~~}\quad	+	\quad\mbox{und}\quad
	x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}		x = \frac{1}{2} \; \mbox{.}</math>}}

← Nächstältere Version		Version vom 10:47, 9. Aug. 2009
Zeile 74:		Zeile 74:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}}
	und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist		und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist
-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li>	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\\mbox{.} </math>}}</li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Zeile 85:		Zeile 85:
	Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir		Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}},	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x \cdot \lg a = \lg b</math>}}
	also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.		also ist die Lösung <math>\ x = \displaystyle \frac{\lg b}{\lg a}</math>.

Zeile 105:		Zeile 105:
	Wir dividieren beide Seiten durch 5000		Wir dividieren beide Seiten durch 5000
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1\textrm{.}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}</math>}}
-	Indem wir beide Seiten logarithmieren, und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,	+	Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
	<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,		<math>\lg 1\textrm{.}05^x = x\cdot\lg 1\textrm{.}05</math>,
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\lg 2}{\lg 1\textrm{.}05} \quad ({}\approx 14\textrm{.}2)\,\mbox{.}</math>}}</li>
Zeile 169:		Zeile 169:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann als <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden, und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}	+	Der Term <math>\ln\frac{1}{x}</math> kann als <math>\ln\frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x</math> geschrieben werden und wir erhalten so die Gleichung {{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}</math>}}
	wo wir <math>\ln x</math> als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung		wo wir <math>\ln x</math> als unbekannte Variabel betrachten. Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>\ln x</math> (dieser Faktor ist nicht null wenn <math>x \neq 1</math>) und erhalten die quadratische Gleichung
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}</math>}}
Zeile 255:		Zeile 255:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
	t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}		t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
-	\quad\mbox{~~and~~}\quad	+	\quad\mbox{und}\quad
	t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}		t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}</math>}}

-	Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten	+	Nachdem <math>\sqrt3 > 1</math>, ist <math>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0</math> und also ist nur <math>t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3</math> eine mögliche Lösung, da <math>e^x</math> immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>