3.3 Logarithmen - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:32, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:32:11 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:32, 11. Aug. 2010
Zeile 26:		Zeile 26:
	*Basis von Logarithmen ändern		*Basis von Logarithmen ändern
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Logarithmus zur Basis 10 ==		== A - Logarithmus zur Basis 10 ==

Ombtut3 um 14:35, 9. Sep. 2009

Ombtut3 — Wed, 09 Sep 2009 14:35:09 GMT

Moni um 08:25, 2. Sep. 2009

Moni — Wed, 02 Sep 2009 08:25:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:25, 2. Sep. 2009
Zeile 281:		Zeile 281:
	\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}		\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
	\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,		\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
-	\quad\text{~~dvs.~~}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}	+	\quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}
	</math>}}</li>		</math>}}</li>

Zeile 302:		Zeile 302:
	\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}		\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
	\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,		\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
-	\quad\text{~~that is~~}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}	+	\quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

Tek — Wed, 02 Sep 2009 07:14:07 GMT

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:14, 2. Sep. 2009
Zeile 347:		Zeile 347:
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
		+	<br><br>

		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.3 Übungen\|Übungen]]''' .

-	[[3.3 Übungen\|Übungen]]

	<div class="inforuta" style="width:580px;">		<div class="inforuta" style="width:580px;">

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-die Materie Eindringen wollen +die Materie einsteigen wollen)

Tekbot — Fri, 28 Aug 2009 15:07:27 GMT

Robot: Automated text replacement (-die Materie Eindringen wollen +die Materie einsteigen wollen)

← Nächstältere Version		Version vom 15:07, 28. Aug. 2009
Zeile 366:		Zeile 366:

	'''Literaturhinweise'''		'''Literaturhinweise'''
-	Für die, die tiefer in die Materie ~~Eindringen~~ wollen, sind hier einige Links angeführt:	+	Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

Tekbot — Fri, 28 Aug 2009 14:59:55 GMT

Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

← Nächstältere Version		Version vom 14:59, 28. Aug. 2009
Zeile 356:		Zeile 356:
	'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''		'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''

-	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

	'''Bedenke folgendes: '''		'''Bedenke folgendes: '''

Tek: Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

Tek — Wed, 19 Aug 2009 08:48:38 GMT

Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

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Zeile 32:		Zeile 32:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\	+	10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
-	10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}	+	10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:		Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:
Zeile 171:		Zeile 171:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}	+	35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}
-	= 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}	+	= 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}
-	= 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.</math>}}	+	= 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.</math>}}

	Wenn wir auch wissen, dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft, das Produkt		Wenn wir auch wissen, dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft, das Produkt
Zeile 189:		Zeile 189:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} =	+	a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} =
-	10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}	+	10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}

	aber anderseits haben wir auch		aber anderseits haben wir auch

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}	+	a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}

	Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:		Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:
Zeile 201:		Zeile 201:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]	+	\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
-	\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]	+	\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
-	\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\	+	\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 279:		Zeile 279:
	Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort		Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}	+	\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
-	\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,	+	\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
-	\quad\text{dvs.}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}	+	\quad\text{dvs.}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}
	</math>}}</li>		</math>}}</li>

Zeile 292:		Zeile 292:
	erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten		erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}	+	\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}

	Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math>, erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung		Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math>, erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}	+	\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}

	Mit Division durch <math>\lg 2</math> ergibt sich, dass		Mit Division durch <math>\lg 2</math> ergibt sich, dass
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}	+	\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
-	\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,	+	\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
-	\quad\text{that is}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}	+	\quad\text{that is}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Zeile 309:		Zeile 309:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\log_{\scriptstyle\,a} x	+	\log_{\scriptstyle\,a} x
-	= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}	+	= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
-	\,\mbox{.}</math>}}	+	\,\mbox{.}</math>}}

	Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10		Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10
Zeile 319:		Zeile 319:
	und verwenden die Rechenregeln für Potenzen		und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}	+	2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
-	\quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}</math>}}	+	\quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}</math>}}

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 334:		Zeile 334:
	und verwenden die Rechenregeln für Potenzen		und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}	+	10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
-	\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>	+	\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>

	<li> Schreibe <math>e^{\,a}</math> zur Basis 10		<li> Schreibe <math>e^{\,a}</math> zur Basis 10
Zeile 342:		Zeile 342:
	Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist		Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	e^a = (10^{\lg e})^a	+	e^a = (10^{\lg e})^a
-	= 10^{\,a \cdot \lg e}	+	= 10^{\,a \cdot \lg e}
-	\approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}</math>}}	+	\approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}</math>}}
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>

Bayerer um 15:01, 14. Aug. 2009

Bayerer — Fri, 14 Aug 2009 15:01:13 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 15:01, 14. Aug. 2009
Zeile 27:		Zeile 27:
	}}		}}

-	== Logarithmus zur Basis 10 ==	+	== A - Logarithmus zur Basis 10 ==

	Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math>, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:		Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math>, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:
Zeile 91:		Zeile 91:


-	== Verschiedene Basen ==	+	== B - Verschiedene Basen ==

	Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".		Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".
Zeile 133:		Zeile 133:


-	== Der natürliche Logarithmus ==	+	== C - Der natürliche Logarithmus ==

	Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen zur Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' genannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math>, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.		Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen zur Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' genannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math>, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.
Zeile 158:		Zeile 158:


-	== Logarithmengesetze ==	+	== D - Logarithmengesetze ==

	In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).		In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).
Zeile 255:		Zeile 255:


-	== Basis ändern ==	+	== E - Basis ändern ==

	Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.		Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.

Moni um 10:41, 9. Aug. 2009

Moni — Sun, 09 Aug 2009 10:41:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:41, 9. Aug. 2009
Zeile 93:		Zeile 93:
	== Verschiedene Basen ==		== Verschiedene Basen ==

-	Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math>, und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".	+	Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 130:		Zeile 130:
	</div>		</div>

-	Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg, oder log.	+	Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.

Moni: Rechtschreibung

Moni — Wed, 05 Aug 2009 22:41:07 GMT

Rechtschreibung

← Nächstältere Version		Version vom 22:41, 5. Aug. 2009
Zeile 302:		Zeile 302:
	\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}		\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
	\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,		\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
-	\quad\text{~~also ist~~}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}	+	\quad\text{that is}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Zeile 329:		Zeile 329:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Zuerst schreiben wir 10 ~~zurr~~ Basis ''e'',	+	Zuerst schreiben wir 10 zur Basis ''e'',
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}

← Nächstältere Version		Version vom 14:35, 9. Sep. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> denn <math>		<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> denn <math>
	10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}		10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
-	= 100\,000</math>.</li>	+	= 100\,000</math></li>
	<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> denn <math>		<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> denn <math>
	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}		10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
-	= 0\textrm{.}0001</math>.</li>	+	= 0\textrm{.}0001</math></li>
	<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> denn <math>		<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> denn <math>
-	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math>.</li>	+	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math></li>
	<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> denn <math>		<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> denn <math>
-	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>	+	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math></li>
	<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> denn <math>		<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> denn <math>
	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}		10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
-	= 10^{78}</math>.</li>	+	= 10^{78}</math></li>
	<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> denn <math>		<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> denn <math>
-	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math>.</li>	+	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math></li>
	<li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, da <math>		<li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, da <math>
-	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt.</li>	+	10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt</li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>