3.1 Wurzeln - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:31, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:31:44 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 13:31, 11. Aug. 2010
Zeile 24:		Zeile 24:
	*Wissen, wann die ''n''-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.		*Wissen, wann die ''n''-te Wurzel von negativen Zahlen definiert ist.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Quadratwurzeln ==		== A - Quadratwurzeln ==

Silke um 10:05, 30. Sep. 2009

Silke — Wed, 30 Sep 2009 10:05:10 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:05, 30. Sep. 2009
Zeile 34:		Zeile 34:

	<div class="regel">		<div class="regel">
-	Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> ist die '''nicht negative''' Zahl, die mit sich selbst multipliziert <math>a</math> ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung <math>x^2 = a</math>.	+	Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> ist die '''nicht negative''' Zahl, die mit sich selbst multipliziert <math>a</math> ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung <math>x^2 = a</math>. Es gilt also <math>\sqrt{x^{2}}=\|x\|</math>.
-	Es gilt also <math>\sqrt{x^{2}}=\|x\|</math>	+

	Die Quadratwurzel von <math>a</math> kann auch als <math>a^{1/2}</math> geschrieben werden.		Die Quadratwurzel von <math>a</math> kann auch als <math>a^{1/2}</math> geschrieben werden.
-
-	Es gilt also <math>\sqrt{x^{2}}=\|x\|</math>
	</div>		</div>

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 09:48:19 GMT

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 09:48, 16. Sep. 2009
Zeile 316:		Zeile 316:
	'''Literaturhinweise'''		'''Literaturhinweise'''

-	Für die, die sich genauer mit der Materie ~~beschäftigen~~ wollen, sind hier einige Links angeführt:	+	Für die, die sich genauer mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

	[http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik) Mehr über Wurzeln in der Wikipedia ]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik) Mehr über Wurzeln in der Wikipedia ]

Ombtut3 um 19:09, 13. Sep. 2009

Ombtut3 — Sun, 13 Sep 2009 19:09:21 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 19:09, 13. Sep. 2009
Zeile 35:		Zeile 35:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> ist die '''nicht negative''' Zahl, die mit sich selbst multipliziert <math>a</math> ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung <math>x^2 = a</math>.		Die Quadratwurzel <math>\sqrt{a}</math> ist die '''nicht negative''' Zahl, die mit sich selbst multipliziert <math>a</math> ergibt, also die nicht negative Lösung der Gleichung <math>x^2 = a</math>.
		+	Es gilt also <math>\sqrt{x^{2}}=\|x\|</math>

	Die Quadratwurzel von <math>a</math> kann auch als <math>a^{1/2}</math> geschrieben werden.		Die Quadratwurzel von <math>a</math> kann auch als <math>a^{1/2}</math> geschrieben werden.
		+
		+	Es gilt also <math>\sqrt{x^{2}}=\|x\|</math>
	</div>		</div>

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

Tek — Wed, 02 Sep 2009 07:11:17 GMT

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:11, 2. Sep. 2009
Zeile 287:		Zeile 287:
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
		+	<br><br>

		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>

-	[[3.1 Übungen\|Übungen]]	+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.1 Übungen\|Übungen]]''' .

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

Tekbot — Fri, 28 Aug 2009 14:58:24 GMT

Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

← Nächstältere Version		Version vom 14:58, 28. Aug. 2009
Zeile 298:		Zeile 298:


-	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

	'''Bedenken Sie folgendes: '''		'''Bedenken Sie folgendes: '''

Silke um 12:42, 28. Aug. 2009

Silke — Fri, 28 Aug 2009 12:42:15 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 12:42, 28. Aug. 2009
Zeile 311:		Zeile 311:
	'''Literaturhinweise'''		'''Literaturhinweise'''

-	Für die, die ~~tiefer in die~~ Materie ~~Eindringen~~ wollen, sind hier einige Links angeführt:	+	Für die, die sich genauer mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

	[http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik) Mehr über Wurzeln in der Wikipedia ]		[http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik) Mehr über Wurzeln in der Wikipedia ]

Tek: Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

Tek — Wed, 19 Aug 2009 08:45:37 GMT

Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

← Nächstältere Version		Version vom 08:45, 19. Aug. 2009
Zeile 63:		Zeile 63:
	Nachdem die Quadratwurzel von a auch als <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> geschrieben werden kann, gelten die Rechenregeln für Potenzen auch für Wurzeln. Zum Beispiel haben wir		Nachdem die Quadratwurzel von a auch als <math>\sqrt{a} = a^{1/2}</math> geschrieben werden kann, gelten die Rechenregeln für Potenzen auch für Wurzeln. Zum Beispiel haben wir
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{9\cdot 4}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{9\cdot 4}
-	= (9\cdot 4)^{1/2}	+	= (9\cdot 4)^{1/2}
-	= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}	+	= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
-	= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}	+	= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}
	Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen <math> a, b \ge 0</math> gelten.		Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen <math> a, b \ge 0</math> gelten.

	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]	+	\sqrt{ab} &= \sqrt{\vphantom{b}a}\cdot \sqrt{b}\\[4pt]
-	\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]	+	\sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\\[4pt]
-	a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}	+	a\sqrt{b} &= \sqrt{a^2b}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>
	(Bei der Division darf ''b'' natürlich nicht Null sein.)		(Bei der Division darf ''b'' natürlich nicht Null sein.)
Zeile 144:		Zeile 144:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\sqrt[\scriptstyle n]{ab}	+	\sqrt[\scriptstyle n]{ab}
-	&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot	+	&= \sqrt[\scriptstyle n]{\vphantom{b}a}\cdot
-	\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]	+	\sqrt[\scriptstyle n]{b}\\[4pt]
-	\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}	+	\sqrt[\scriptstyle n]{\frac{a}{b}}
-	&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]	+	&= \frac{\sqrt[\scriptstyle n]{a}}{\sqrt[\scriptstyle n]{b}}\\[4pt]
-	a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}	+	a\,\sqrt[\scriptstyle n]{b}
-	&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}	+	&= \sqrt[\scriptstyle n]{a^nb}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>
	(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)		(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)
Zeile 160:		Zeile 160:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{8}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{8}
-	= \sqrt{4\cdot2}	+	= \sqrt{4\cdot2}
-	= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}	+	= \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}
-	= 2\sqrt{2}</math>}}	+	= 2\sqrt{2}</math>}}

	und ähnlich für die Division:		und ähnlich für die Division:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\sqrt{8}}{2}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{\sqrt{8}}{2}
-	= \frac{2 \sqrt{2}}{2}	+	= \frac{2 \sqrt{2}}{2}
-	= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}	+	= \sqrt{2}\mbox{.}</math>}}

	Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.		Indem man Ausdrücke mit mehreren Termen Term für Term vereinfacht, kann man Terme mit derselben Wurzel addieren.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\sqrt{8} + \sqrt{2}
-	= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}	+	= 2\sqrt{2} + \sqrt{2}
-	= (2+1)\sqrt{2}	+	= (2+1)\sqrt{2}
-	= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}	+	= 3\sqrt{2}\mbox{.}</math>}}

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 242:		Zeile 242:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}
-	= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}	+	= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
-	= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}.	+	= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}.

	Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.		Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.
Zeile 250:		Zeile 250:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}	+	\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}
-	&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}	+	&= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
-	= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]	+	= \frac{\sqrt{3}\,(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\[4pt]
-	&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }	+	&= \frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{3}\cdot1}{(\sqrt{2}\,)^2 - 1^2 }
-	= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }	+	= \frac{\sqrt{3 \cdot 2} - \sqrt{3}}{ 2 - 1 }
-	= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }	+	= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{ 1 }
-	= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}	+	= \sqrt{6} - \sqrt{3}\mbox{.}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Bayerer um 14:59, 14. Aug. 2009

Bayerer — Fri, 14 Aug 2009 14:59:12 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 14:59, 14. Aug. 2009
Zeile 25:		Zeile 25:
	}}		}}

-	== Quadratwurzeln ==	+	== A - Quadratwurzeln ==

	[[Image:rotbubbla.gif\|right]]		[[Image:rotbubbla.gif\|right]]
Zeile 101:		Zeile 101:


-	== Allgemeine Wurzeln ==	+	== B - Allgemeine Wurzeln ==

	Die Kubikwurzel von <math>a</math> wird durch die Zahl definiert, die mit sich selbst drei Mal multipliziert <math>a</math> ergibt, und wird <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math> geschrieben.		Die Kubikwurzel von <math>a</math> wird durch die Zahl definiert, die mit sich selbst drei Mal multipliziert <math>a</math> ergibt, und wird <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{a}</math> geschrieben.
Zeile 155:		Zeile 155:
	(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)		(Bei der Division darf b natürlich nicht Null sein.)

-	== Vereinfachungen von Wurzelausdrücken ==	+	== C - Vereinfachungen von Wurzelausdrücken ==

	Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.		Oft können Ausdrücke, die Wurzeln enthalten, wesentlich vereinfacht werden. Generell will man einen Ausdruck mit so kleinen Wurzeln wie möglich erhalten. Zum Beispiel ist die folgende Vereinfachung sinnvoll.
Zeile 237:		Zeile 237:


-	== Rationale Wurzelausdrücke ==	+	== D - Rationale Wurzelausdrücke ==

	Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit <math> \sqrt{2} </math> erweitern		Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit <math> \sqrt{2} </math> erweitern

Moni um 10:06, 9. Aug. 2009

Moni — Sun, 09 Aug 2009 10:06:34 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 10:06, 9. Aug. 2009
Zeile 66:		Zeile 66:
	= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}		= 9^{1/2}\cdot 4^{1/2}
	= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}		= \sqrt{9}\cdot \sqrt{4}\mbox{.}</math>}}
-	Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen <math> a, b \ge 0:</math> gelten.	+	Auf diese Weise können wir folgende Rechenregeln herleiten, die für alle reellen Zahlen <math> a, b \ge 0</math> gelten.

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 98:		Zeile 98:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>-1 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1) \cdot (-1) } = \sqrt{1} = 1</math>}}

-	schreiben. Und zwar deshalb, weil <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl ist, und die Rechenregeln für Wurzeln daher nicht definiert sind.	+	schreiben. Und zwar deshalb, weil <math> \sqrt{-1} </math> keine reelle Zahl ist und die Rechenregeln für Wurzeln daher nicht definiert sind.


Zeile 136:		Zeile 136:
	<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> nachdem <math>(-3)		<li><math>\sqrt[\scriptstyle 5]{-243} = -3\quad</math> nachdem <math>(-3)
	\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>		\cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -243</math>.</li>
-	<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> ist nicht definiert, nachdem <math>6</math> gerade ist, und <math>-17</math> negativ ist. </li>	+	<li><math>\sqrt[\scriptstyle 6]{-17}\quad</math> ist nicht definiert, nachdem <math>6</math> gerade ist und <math>-17</math> negativ ist. </li>
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Zeile 239:		Zeile 239:
	== Rationale Wurzelausdrücke ==		== Rationale Wurzelausdrücke ==

-	Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit <math> \sqrt{2} </math> erweitern,	+	Wenn man rationale Wurzelausdrücke vereinfacht, will man so weit wie möglich Wurzeln im Nenner vermeiden. Im folgenden Fall können wir den Bruch zum Beispiel mit <math> \sqrt{2} </math> erweitern

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}
	= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}		= \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}
-	= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}	+	= \frac{\sqrt{2}}{2}</math>}}.

	Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.		Dieser Ausdruck ist viel einfacher zu berechnen oder zu schätzen als der vorherige.