2.3 Quadratische Gleichungen - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:31, 11. Aug. 2010

Dagmar Timmreck — Wed, 11 Aug 2010 13:31:29 GMT

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Zeile 26:		Zeile 26:
	* Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.		* Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.
	}}		}}
		+
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Quadratische Gleichungen ==		== A - Quadratische Gleichungen ==

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-p-q-Formel +''p''-''q''-Formel)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:26:06 GMT

Robot: Automated text replacement (-p-q-Formel +''p''-''q''-Formel)

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Zeile 67:		Zeile 67:
	</div>		</div>

-	Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die p-q-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die p-q-Formel. Die p-q-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.	+	Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die ''p''-''q''-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die ''p''-''q''-Formel. Die ''p''-''q''-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

	Die binomische Formel lautet		Die binomische Formel lautet
Zeile 119:		Zeile 119:

	<div class="regel">		<div class="regel">
-	'''Herleitung der p-q-Formel aus der quadratischen Ergänzung'''	+	'''Herleitung der ''p''-''q''-Formel aus der quadratischen Ergänzung'''
	</div>		</div>

Zeile 141:		Zeile 141:
	<math> x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math>		<math> x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math>

-	Und damit hat man die p-q-Formel.	+	Und damit hat man die ''p''-''q''-Formel.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ö +ö)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 10:14:18 GMT

Robot: Automated text replacement (-ö +ö)

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Zeile 42:		Zeile 42:

	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li><math>x^2 = 4 \quad</math> hat die ~~Lösungen~~ <math>x=\sqrt{4} = 2</math> und <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li>	+	<li><math>x^2 = 4 \quad</math> hat die Lösungen <math>x=\sqrt{4} = 2</math> und <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li>
-	<li><math>2x^2=18 \quad</math> kann man als <math>x^2=9</math> schreiben, also gibt es die ~~Lösungen~~ <math>x=\sqrt9 = 3</math> und <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li>	+	<li><math>2x^2=18 \quad</math> kann man als <math>x^2=9</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt9 = 3</math> und <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li>
-	<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann man als <math>x^2=5</math> schreiben, also gibt es die ~~Lösungen~~ <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236 </math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>	+	<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann man als <math>x^2=5</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236 </math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>
-	<li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine (reelle) ~~Lösung~~, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn <math>x^2 ≥ 0</math>).<br>	+	<li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn <math>x^2 ≥ 0</math>).<br>
-	(Man kann diese Gleichung im Komplexen ~~lösen~~ und man erhält dann komplexe ~~Lösungen~~.)	+	(Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Zeile 61:		Zeile 61:
	Wir addieren <math>8</math> auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch <math>2</math>,		Wir addieren <math>8</math> auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch <math>2</math>,
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
-	Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese ~~lösen~~ wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die ~~Lösungen~~ sind	+	Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind
	*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>		*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
	*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>		*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
Zeile 77:		Zeile 77:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
	</div>		</div>
-	und <math> (a+x)^2 = a^2 </math> ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen ~~lösen können~~.	+	und <math> (a+x)^2 = a^2 </math> ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 88:		Zeile 88:
	wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie		wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
-	geschrieben werden, und diese Gleichung hat die ~~Lösungen~~	+	geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Lösungen
	*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math>, also <math>x=-1+3=2</math>,		*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math>, also <math>x=-1+3=2</math>,
	*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math>, also <math>x=-1-3=-4</math>.</li>		*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math>, also <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
Zeile 99:		Zeile 99:
	Dies ergibt die Gleichung		Dies ergibt die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
-	mit den ~~Lösungen~~	+	mit den Lösungen
	*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,		*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
	*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>		*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
Zeile 108:		Zeile 108:
	'''Hinweis: '''		'''Hinweis: '''

-	Für jede gefundene ~~Lösung können~~ wir die Probe machen, indem wir die gefundene ~~Lösung~~ in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:	+	Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:

	* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.		* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
Zeile 133:		Zeile 133:


-	Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung <math> x^2 + px +q = 0 </math> die selben ~~Lösungen~~ wie die einfache quadratische Gleichung <math> \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q </math>.	+	Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung <math> x^2 + px +q = 0 </math> die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung <math> \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q </math>.

-	Die einfache quadratische Gleichung ~~lösen~~ wir durch das Ziehen der Wurzel.	+	Die einfache quadratische Gleichung lösen wir durch das Ziehen der Wurzel.

-	Wir erhalten die beiden ~~Lösungen~~	+	Wir erhalten die beiden Lösungen
	<math> x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math> und		<math> x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math> und
	<math> x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math>		<math> x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math>
Zeile 235:		Zeile 235:
	und schließlich		und schließlich
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
-	Wir ziehen die Wurzel und erhalten die ~~Lösungen~~	+	Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen
	*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> also <math>\quad x=2+1=3</math>,		*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> also <math>\quad x=2+1=3</math>,
	*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> also <math>\quad x=2-1=1</math>.		*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> also <math>\quad x=2-1=1</math>.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 09:48:09 GMT

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 09:48, 16. Sep. 2009
Zeile 46:		Zeile 46:
	<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann man als <math>x^2=5</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236 </math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>		<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann man als <math>x^2=5</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236 </math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>
	<li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn <math>x^2 ≥ 0</math>).<br>		<li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn <math>x^2 ≥ 0</math>).<br>
-	(Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man ~~erhält~~ dann komplexe Lösungen.)	+	(Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)
	</ol>		</ol>
	</div>		</div>
Zeile 67:		Zeile 67:
	</div>		</div>

-	Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die p-q-Formel benutzen. Wir ~~erklären~~ erst die quadratische ~~Ergänzung~~ an Beispielen und dann die p-q-Formel. Die p-q-Formel kann aus der quadratischen ~~Ergänzung~~ hergeleitet werden.	+	Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die p-q-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die p-q-Formel. Die p-q-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

	Die binomische Formel lautet		Die binomische Formel lautet
Zeile 119:		Zeile 119:

	<div class="regel">		<div class="regel">
-	'''Herleitung der p-q-Formel aus der quadratischen ~~Ergänzung~~'''	+	'''Herleitung der p-q-Formel aus der quadratischen Ergänzung'''
	</div>		</div>

Zeile 129:		Zeile 129:
	solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.		solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.

-	Wir benutzen die quadratische ~~Ergänzung~~ mit <math> a = \frac{p}{2} </math>	+	Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit <math> a = \frac{p}{2} </math>
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q </math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q </math>}}

Zeile 280:		Zeile 280:

	'''Literaturhinweise'''		'''Literaturhinweise'''
-	Für die, die sich weiter mit der Materie ~~beschäftigen~~ wollen, sind hier einige Links angeführt:	+	Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 08:54:33 GMT

Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

← Nächstältere Version		Version vom 08:54, 16. Sep. 2009
Zeile 108:		Zeile 108:
	'''Hinweis: '''		'''Hinweis: '''

-	~~Für~~ jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ~~ursprüngliche~~ Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu ~~prüfen~~:	+	Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:

	* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.		* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
Zeile 168:		Zeile 168:
	wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind und <math>a\ne0</math>.		wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind und <math>a\ne0</math>.

-	Andere Schreibweisen ~~für~~ diese Funktionen sind <math> f(x) = ax^2 + bx +c </math> oder <math> x \mapsto ax^2 + bx +c </math>.	+	Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind <math> f(x) = ax^2 + bx +c </math> oder <math> x \mapsto ax^2 + bx +c </math>.

	Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.		Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.
Zeile 178:		Zeile 178:
	Weil der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math> und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>.		Weil der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math> und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>.

-	Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch ~~bezüglich~~ der <math>y</math>-Achse, weil der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.	+	Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der <math>y</math>-Achse, weil der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-Ü +Ü)

Tekbot — Wed, 16 Sep 2009 08:51:01 GMT

Robot: Automated text replacement (-Ü +Ü)

← Nächstältere Version		Version vom 08:51, 16. Sep. 2009
Zeile 272:		Zeile 272:


-	Nachdem Du mit der Theorie und den ~~Übungen~~ fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

	'''Bedenken Sie folgendes: '''		'''Bedenken Sie folgendes: '''

Ombtut4 um 08:36, 15. Sep. 2009

Ombtut4 — Tue, 15 Sep 2009 08:36:21 GMT

← Nächstältere Version		Version vom 08:36, 15. Sep. 2009
Zeile 216:		Zeile 216:


-	Wenn wir die ~~linke~~ Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir	+	Wenn wir die rechte Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
	und sehen, dass die Parabel <math>y= (x+1)^2+1</math> um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math>.		und sehen, dass die Parabel <math>y= (x+1)^2+1</math> um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math>.

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

Tek — Wed, 02 Sep 2009 07:09:27 GMT

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:09, 2. Sep. 2009
Zeile 259:		Zeile 259:
	<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>		<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
	</div>		</div>
		+	<br><br>

		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.3 Übungen\|Übungen]]''' .

-	[[2.3 Übungen\|Übungen]]

	<div class="inforuta" style="width:580px;">		<div class="inforuta" style="width:580px;">

Silke: /* B - Quadratische Funktionen */

Silke — Sun, 23 Aug 2009 16:11:44 GMT

B - Quadratische Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 16:11, 23. Aug. 2009
Zeile 168:		Zeile 168:
	wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind und <math>a\ne0</math>.		wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind und <math>a\ne0</math>.

-	Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende ~~Figuren~~ zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.	+	Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind <math> f(x) = ax^2 + bx +c </math> oder <math> x \mapsto ax^2 + bx +c </math>.
		+
		+	Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.

	<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>		<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>
-	<center><small>Die linke ~~Figur~~ zeigt die Parabel <math>y=x^2</math> und die rechte ~~Figur~~ zeigt die Parabel <math>y=-x^2</math>.</small></center>	+	<center><small>Die linke Zeichnung zeigt die Parabel <math>y=x^2</math> und die rechte Zeichnung zeigt die Parabel <math>y=-x^2</math>.</small></center>


-	~~Nachdem~~ der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math> und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>.	+	Weil der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math> und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>.

-	~~Die~~ beiden Parabeln oben ~~sind auch~~ symmetrisch ~~um die~~ <math>y</math>-Achse, ~~nachdem~~ der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.	+	Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der <math>y</math>-Achse, weil der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 229:		Zeile 231:
	Alle Punkte auf der <math>x</math>-Achse haben den <math>y</math>-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der <math>x</math>-Achse liegen, haben also die <math>y</math>-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung		Alle Punkte auf der <math>x</math>-Achse haben den <math>y</math>-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der <math>x</math>-Achse liegen, haben also die <math>y</math>-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
-	quadratische Ergänzung ~~gibt~~	+	Die quadratische Ergänzung ergibt
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
	und schließlich		und schließlich
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
-	Wir erhalten die ~~Wurzeln~~	+	Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen
	*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> also <math>\quad x=2+1=3</math>,		*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> also <math>\quad x=2+1=3</math>,
	*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> also <math>\quad x=2-1=1</math>.		*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> also <math>\quad x=2-1=1</math>.
Zeile 253:		Zeile 255:
	und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate <math>(x+4)^2</math> immer größer oder gleich 0 ist.		und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate <math>(x+4)^2</math> immer größer oder gleich 0 ist.

-	In der ~~Figur~~ unten sehen wir, dass die Parabel <math>y=x^2+8x+19</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn <math>x=-4</math>.	+	In der Zeichnung unten sehen wir, dass die Parabel <math>y=x^2+8x+19</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn <math>x=-4</math>.

	<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>		<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
Zeile 267:		Zeile 269:


-	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

	'''Bedenken Sie folgendes: '''		'''Bedenken Sie folgendes: '''
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	'''Literaturhinweise'''		'''Literaturhinweise'''
-	Für die, die ~~tiefer in die~~ Materie ~~Eindringen~~ wollen, sind hier einige Links angeführt:	+	Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Silke: /* A - Quadratische Gleichungen */

Silke — Sun, 23 Aug 2009 15:59:01 GMT

A - Quadratische Gleichungen

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	Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit <math> a = \frac{p}{2} </math>		Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit <math> a = \frac{p}{2} </math>
-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+px+q= x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q = \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q </math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q </math>}}
		+

	Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung <math> x^2 + px +q = 0 </math> die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung <math> \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q </math>.		Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung <math> x^2 + px +q = 0 </math> die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung <math> \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q </math>.