Lösung 4.4:2a - Versionsgeschichte

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2009-08-25T11:53:59Z

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← Nächstältere Version		Version vom 11:53, 25. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die 'y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.	+	Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die ''y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.

-	~~[[Image~~:~~4_4_2_a~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.4.2a - Solution - Two unit circles with angles π/3 and 2π/3, respectively}}</center>

	Im ersten Quadranten wissen wir, dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der ''y''-Achse denselben Sinus, also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.		Im ersten Quadranten wissen wir, dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der ''y''-Achse denselben Sinus, also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.

Markus.bez: Sprache und Formulierung

2009-06-19T14:17:52Z

Sprache und Formulierung

← Nächstältere Version		Version vom 14:17, 19. Jun. 2009
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-	Wir zeichnen den Einheitskreis, und markieren alle ~~Winkeln~~ die die 'y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.	+	Wir zeichnen den Einheitskreis und markieren alle Winkel, die die 'y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.

	[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]		[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]

-	Im ersten ~~Quadrant~~ wissen wir dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung in der ''y''-Achse denselben Sinus, ~~und~~ also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.	+	Im ersten Quadranten wissen wir, dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung an der ''y''-Achse denselben Sinus, also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.

-	Addieren wir einen ~~Multipel~~ von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser ~~Winkeln~~, ändert sich ~~nicht~~ deren Sinus.	+	Addieren wir einen Vielfaches von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser Winkel, ändert sich deren Sinus nicht.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}

-	wo ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.	+	wobei ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.

	Hinweis: Schreiben wir		Hinweis: Schreiben wir
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}

-	heißt dies dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, ~~und~~ also für die ~~Winkeln:~~	+	heißt dies, dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, also für die Winkel

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{array}{llll}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{array}{llll}

Martin um 21:03, 5. Apr. 2009

2009-04-05T21:03:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:03, 5. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~We draw a unit circle and mark those angles on the circle which have a '~~'y''-~~coordinate of~~ <math>\sqrt{3}/2</math>~~, in order to see which solutions lie between~~	+	Wir zeichnen den Einheitskreis, und markieren alle Winkeln die die 'y''-Koordinate <math>\sqrt{3}/2</math> haben. So erhalten wir alle Lösungen der Gleichung zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math>.
-	<math>0</math> ~~and~~ <math>2\pi</math>.	+

	[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]		[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]

-	~~In the first quadrant, we recognize~~ <math>x = \pi/3</math> ~~as the angle which has a sine value of~~ <math>\sqrt{3}/2</math> ~~and then we have the reflectionally symmetric solution~~ <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> ~~in the second quadrant~~.	+	Im ersten Quadrant wissen wir dass <math>x = \pi/3</math> den Sinus <math>\sqrt{3}/2</math> hat. Noch dazu hat die Spiegelung in der ''y''-Achse denselben Sinus, und also ist <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> auch eine Lösung.

-	~~Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of~~ <math>2\pi</math>	+	Addieren wir einen Multipel von <math>2\pi</math> zu irgendeiner dieser Winkeln, ändert sich nicht deren Sinus.

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{~~and~~}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}

-	~~where~~ ''n'' ~~is an arbitrary integer~~.	+	wo ''n'' eine beliebige ganze Zahl ist.

		+	Hinweis: Schreiben wir

-	~~Note: When we write that the complete solution is given by~~	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}

-	~~{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}~~	+	heißt dies dass die Gleichung für jedes ''n'' erfüllt ist, und also für die Winkeln:
-		+
-	~~this means that for every integer~~ ''n'', ~~we obtain a solution to the equation~~:	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{array}{llll}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{array}{llll}

Tekbot: hat „Solution 4.4:2a“ nach „Lösung 4.4:2a“ verschoben: Robot: moved page

2008-10-22T15:12:24Z

hat „Solution 4.4:2a“ nach „Lösung 4.4:2a“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 15:12, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2008-10-22T08:57:58Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 08:57, 22. Okt. 2008
Zeile 8:		Zeile 8:
	Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of <math>2\pi</math>		Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of <math>2\pi</math>

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}

	where ''n'' is an arbitrary integer.		where ''n'' is an arbitrary integer.
Zeile 15:		Zeile 15:
	Note: When we write that the complete solution is given by		Note: When we write that the complete solution is given by

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}

	this means that for every integer ''n'', we obtain a solution to the equation:		this means that for every integer ''n'', we obtain a solution to the equation:

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{array}{llll}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{array}{llll}
	&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]		&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]
	&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]		&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]

Tek um 14:13, 10. Okt. 2008

2008-10-10T14:13:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:13, 10. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	We draw a unit circle and mark on those angles on the circle which have a	+	We draw a unit circle and mark those angles on the circle which have a ''y''-coordinate of <math>\sqrt{3}/2</math>, in order to see which solutions lie between
-	~~<math>~~y~~</math>~~	+	<math>0</math> and <math>2\pi</math>.
-	-coordinate of	+
-	<math>{\sqrt{3}}/{2~~}\;~~</math>, in order to see which solutions lie between	+
-	<math>0</math>	+
-	and	+
-	<math>2\pi </math>.	+
-		+
-		+

	[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]		[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]

-	In the first quadrant, we recognize	+	In the first quadrant, we recognize <math>x = \pi/3</math> as the angle which has a sine value of <math>\sqrt{3}/2</math> and then we have the reflectionally symmetric solution <math>x = \pi - \pi/3 = 2\pi/3</math> in the second quadrant.
-	<math>x={\pi }/{3~~}\;~~</math>	+
-	as the angle which has a sine value of	+
-	<math>{\sqrt{3}}/{2~~}\;~~</math>	+
-	and then we have the reflectionally symmetric solution	+
-	<math>x=\pi -~~\frac{~~\pi }{3}=~~\frac{~~2\pi }{3}</math>	+
-	in the second quadrant.	+
-		+
-	~~Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of~~	+
-	~~<math>2\pi </math>~~	+
-		+
-		+
-		+
-	~~<math>x=\frac{\pi }{3}+2n\pi </math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>x=\frac{2\pi }{3}+2n\pi </math>~~	+
-		+

-	~~where~~	+	Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of <math>2\pi</math>
-	<math>n</math>	+
-	~~is an arbitrary integer.~~	+

-	~~NOTE: when we write that the complete solution is given by~~	+	{{Displayed math\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}

		+	where ''n'' is an arbitrary integer.

-	<math>x=\frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
-	and
-	<math>x=\frac{2\pi }{3}+2n\pi </math>,

-	~~this means that for every integer~~	+	Note: When we write that the complete solution is given by
-	~~<math>n</math>,~~ we ~~obtain a solution to~~ the ~~equation:~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>x = \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{2\pi}{3}+2n\pi\,\textrm{,}</math>}}

-	~~<math>\begin{array}{*{35}l}~~	+	this means that for every integer ''n'', we obtain a solution to the equation:
-	n~~=0 & x=\frac{\pi }{3} & x=\frac{2\pi }{3} \\~~	+
-	~~n=-1 & x=\frac{\pi }{3}+\left( -1 \right)\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+\left( -1 \right)\centerdot 2\pi \\~~	+
-	~~n=1 & x=\frac{\pi }{3}+1\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+1\centerdot 2\pi \\~~	+
-	~~n=-2 & x=\frac{\pi }{3}+\left( -2 \right)\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+\left( -2 \right)\centerdot 2\pi \\~~	+
-	~~n=2 & x=\frac{\pi }{3}+2\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+2\centerdot 2\pi \\~~	+
-	~~\end{array}</math>~~	+

-	~~and so on.~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\begin{array}{llll}
		+	&n=0:\quad &x=\frac{\pi}{3}\quad &x=\frac{2\pi }{3}\\[5pt]
		+	&n=-1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-1)\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&n=1:\quad &x=\frac{\pi}{3}+1\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+1\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&n=-2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+(-2)\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&n=2:\quad &x=\frac{\pi}{3}+2\cdot 2\pi\quad &x=\frac{2\pi}{3}+2\cdot 2\pi\\[5pt]
		+	&\phantom{n}\vdots &\phantom{x}\vdots &\phantom{x}\vdots
		+	\end{array}</math>}}

Ian um 13:30, 30. Sep. 2008

2008-09-30T13:30:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:30, 30. Sep. 2008
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-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	We draw a unit circle and mark on those angles on the circle which have a
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_4_2a-1(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>y</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	-coordinate of
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	<math>{\sqrt{3}}/{2}\;</math>, in order to see which solutions lie between
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_4_2a-2(~~2~~).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>0</math>
-	~~{{NAVCONTENT_STOP}}~~	+	and
		+	<math>2\pi </math>.
		+


	[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]		[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]
		+
		+	In the first quadrant, we recognize
		+	<math>x={\pi }/{3}\;</math>
		+	as the angle which has a sine value of
		+	<math>{\sqrt{3}}/{2}\;</math>
		+	and then we have the reflectionally symmetric solution
		+	<math>x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}</math>
		+	in the second quadrant.
		+
		+	Each of those solutions returns to itself after every revolution, so that we obtain the complete solution if we add multiples of
		+	<math>2\pi </math>
		+
		+
		+
		+	<math>x=\frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
		+	and
		+	<math>x=\frac{2\pi }{3}+2n\pi </math>
		+
		+
		+	where
		+	<math>n</math>
		+	is an arbitrary integer.
		+
		+	NOTE: when we write that the complete solution is given by
		+
		+
		+	<math>x=\frac{\pi }{3}+2n\pi </math>
		+	and
		+	<math>x=\frac{2\pi }{3}+2n\pi </math>,
		+
		+	this means that for every integer
		+	<math>n</math>, we obtain a solution to the equation:
		+
		+
		+	<math>\begin{array}{*{35}l}
		+	n=0 & x=\frac{\pi }{3} & x=\frac{2\pi }{3} \\
		+	n=-1 & x=\frac{\pi }{3}+\left( -1 \right)\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+\left( -1 \right)\centerdot 2\pi \\
		+	n=1 & x=\frac{\pi }{3}+1\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+1\centerdot 2\pi \\
		+	n=-2 & x=\frac{\pi }{3}+\left( -2 \right)\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+\left( -2 \right)\centerdot 2\pi \\
		+	n=2 & x=\frac{\pi }{3}+2\centerdot 2\pi & x=\frac{2\pi }{3}+2\centerdot 2\pi \\
		+	\end{array}</math>
		+
		+	and so on.

Tekbot: Lösning 4.4:2a moved to Solution 4.4:2a: Robot: moved page

2008-09-09T10:02:03Z

Lösning 4.4:2a moved to Solution 4.4:2a: Robot: moved page

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Version vom 10:02, 9. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T07:18:09Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

← Nächstältere Version		Version vom 07:18, 21. Aug. 2008
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-	<center> [[~~Bild~~:4_4_2a-1(2).gif]] </center>	+	<center> [[Image:4_4_2a-1(2).gif]] </center>
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-	[[~~Bild~~:4_4_2_a.gif\|center]]	+	[[Image:4_4_2_a.gif\|center]]

Madde um 12:14, 19. Aug. 2008

2008-08-19T12:14:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:14, 19. Aug. 2008
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