Lösung 4.4:1g - Versionsgeschichte

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2009-08-25T11:40:16Z

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	Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.		Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.

-	~~[[Image~~:~~4_4_1_g1~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.4.1g - Solution - Two unit circles with angles v satisfying tan v = -1/√3}}</center>

	Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:		Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:

-	~~[[Image~~:~~4_4_1_g2~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.4.1g - Solution - The unit circle with an angle in the fourth quadrant and an auxiliary triangle}}</center>

	Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.		Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.

-	~~[[Image~~:~~4_4_1_g3~~.~~gif\|~~center]]	+	<center>{{:4.4.1g - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}</center>

	Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir		Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

Markus.bez um 14:15, 19. Jun. 2009

2009-06-19T14:15:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:15, 19. Jun. 2009
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-	Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also ~~den~~ Winkel ~~mit den~~ Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> ~~entspricht~~, sehen wir dass es zwei ~~Winkeln~~ gibt die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen ~~gegenüber von~~ einander im zweiten und im vierten ~~Quadrant~~.	+	Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.

	[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]

-	Wir betrachten nur den vierten ~~Quadrant,~~ und führen ein neues Dreieck ein~~, siehe Bild.~~	+	Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:

	[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]

-	Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math> ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.	+	Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.

	[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]

-	Durch ~~das Gesetz~~ des Pythagoras erhalten wir	+	Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}

-	Diese Gleichung hat die positive Lösung <math>x = \sqrt{3}/2</math>, ~~und~~ also haben wir	+	Diese Gleichung hat die positive Lösung <math>x = \sqrt{3}/2</math>, also haben wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.</math>}}

-	~~also~~ ist <math>\alpha = \pi/6</math>. Nachdem der Winkel <math>v</math> das Komplement des Winkels <math>\alpha</math> ist, ist <math>v</math>	+	Damit ist <math>\alpha = \pi/6</math>. Nachdem der Winkel <math>v</math> das Komplement des Winkels <math>\alpha</math> ist, ist <math>v</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}

-	Subtrahieren wir <math>\pi</math> von <math>v</math> erhalten wir den anderen Winkel in zweiten ~~Quadrant,~~	+	Subtrahieren wir <math>\pi</math> von <math>v</math>, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 20:47, 5. Apr. 2009

2009-04-05T20:47:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 20:47, 5. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~A quick sketch of the unit circle and the line~~ <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, ~~which corresponds to the tangent value~~ <math>-1/\!\sqrt{3}</math> ~~shows that there are two angles which satisfy~~ <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math>. ~~One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant~~.	+	Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also den Winkel mit den Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> entspricht, sehen wir dass es zwei Winkeln gibt die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen gegenüber von einander im zweiten und im vierten Quadrant.

	[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]

-	~~We can therefore limit ourselves to the fourth quadrant and draw an auxiliary triangle in order to determine the angle there~~.	+	Wir betrachten nur den vierten Quadrant, und führen ein neues Dreieck ein, siehe Bild.

	[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]

-	~~If we call~~ <math>x</math> ~~the side adjacent to the angle <math>\alpha</math> then the fact that~~ <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math> ~~gives the length of the opposite side as~~ <math>x/\!\sqrt{3}</math>.	+	Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math> ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.

	[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]

-	~~The Pythagorean theorem gives~~	+	Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}

-	~~and this equation has the solution~~ <math>x = \sqrt{3}/2</math>, ~~which means that~~	+	Diese Gleichung hat die positive Lösung <math>x = \sqrt{3}/2</math>, und also haben wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}

-	~~i.e.~~ <math>\alpha = \pi/6</math>. ~~Because the angle~~ <math>v</math> ~~in the fourth quadrant is the complement of~~ <math>\alpha</math> ~~the angle~~ <math>v</math> ~~is given by~~	+	also ist <math>\alpha = \pi/6</math>. Nachdem der Winkel <math>v</math> das Komplement des Winkels <math>\alpha</math> ist, ist <math>v</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~If we subtract half a turn,~~ <math>\pi</math>, ~~we obtain the other angle~~	+	Subtrahieren wir <math>\pi</math> von <math>v</math> erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadrant,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}

Tekbot: hat „Solution 4.4:1g“ nach „Lösung 4.4:1g“ verschoben: Robot: moved page

2008-10-22T15:12:04Z

hat „Solution 4.4:1g“ nach „Lösung 4.4:1g“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 15:12, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2008-10-22T08:57:48Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 08:57, 22. Okt. 2008
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	The Pythagorean theorem gives		The Pythagorean theorem gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}

	and this equation has the solution <math>x = \sqrt{3}/2</math>, which means that		and this equation has the solution <math>x = \sqrt{3}/2</math>, which means that

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}

	i.e. <math>\alpha = \pi/6</math>. Because the angle <math>v</math> in the fourth quadrant is the complement of <math>\alpha</math> the angle <math>v</math> is given by		i.e. <math>\alpha = \pi/6</math>. Because the angle <math>v</math> in the fourth quadrant is the complement of <math>\alpha</math> the angle <math>v</math> is given by

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}

	If we subtract half a turn, <math>\pi</math>, we obtain the other angle		If we subtract half a turn, <math>\pi</math>, we obtain the other angle

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}

Tek um 13:54, 10. Okt. 2008

2008-10-10T13:54:29Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:54, 10. Okt. 2008
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-	A quick sketch of the unit circle and the line	+	A quick sketch of the unit circle and the line <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, which corresponds to the tangent value <math>-1/\!\sqrt{3}</math> shows that there are two angles which satisfy <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math>. One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant.
-	<math>y=-\~~frac{1}{~~\sqrt{3}}x</math>, which corresponds to the tangent value	+
-	<math>-{1}/{\sqrt{3}~~}\;~~</math>	+
-	shows that there are two angles which satisfy	+
-	<math>\tan v=-{1}/{\sqrt{3}~~}\;~~</math>. One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant.	+

	[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]
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	[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]

-	If we call	+	If we call <math>x</math> the side adjacent to the angle <math>\alpha</math> then the fact that <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math> gives the length of the opposite side as <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
-	<math>x</math>	+
-	the side adjacent to the angle	+
-	<math>\alpha </math>	+
-	then the fact that	+
-	<math>\tan v=-{1}/{\sqrt{3}~~}\;~~</math>	+
-	gives the length of the opposite side as	+
-	<math>{x}/{\sqrt{3}~~}\;~~</math>.	+
-		+

	[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]

-	~~Pythagoras'~~ theorem gives	+	The Pythagorean theorem gives
-		+
-		+
-	~~<math>x^{2}+\left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right)^{2}=1^{2}</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~and this equation has the solution~~	+
-	~~<math>x={\sqrt{3}}/{2}\;</math>, which means that~~	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}

-	<math>~~\cos \alpha~~ =~~\frac{{~~\sqrt{3}}/{2~~}\;}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}~~</math>	+	and this equation has the solution <math>x = \sqrt{3}/2</math>, which means that

-	~~i.e.~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}
-	<math>\alpha ={\pi }/{6}\~~;</math>. Because the angle~~	+
-	~~<math>v</math>~~	+
-	~~in the fourth quadrant is the complement of~~	+
-	~~<math>~~\~~alpha~~ </math>	+
-		+
-	~~<math>v</math>~~	+
-	~~is given by~~	+

		+	i.e. <math>\alpha = \pi/6</math>. Because the angle <math>v</math> in the fourth quadrant is the complement of <math>\alpha</math> the angle <math>v</math> is given by

-	<math>v=2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}~~</math>.~~	+	{{Displayed math\|\|<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}
-	~~If we subtract half a turn~~,	+
-	~~<math>~~\pi </math>~~, we obtain the other angle~~	+

		+	If we subtract half a turn, <math>\pi</math>, we obtain the other angle

-	<math>v=\frac{11\pi }{6}-\pi =\frac{5\pi }{6}</math>	+	{{Displayed math\|\|<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}

Ian um 13:00, 30. Sep. 2008

2008-09-30T13:00:31Z

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-	~~{{NAVCONTENT_START}}~~	+	A quick sketch of the unit circle and the line
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_4_1g~~-1~~(2).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x</math>, which corresponds to the tangent value
-	{~~{NAVCONTENT_STOP~~}}	+	<math>-{1}/{\sqrt{3}}\;</math>
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	shows that there are two angles which satisfy
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_4_1g~~-~~2(2).gif]] <~~/~~center>~~	+	<math>\tan v=-{1}/{\sqrt{3}}\;</math>. One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant.
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-		+

	[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g1.gif\|center]]
		+
		+	We can therefore limit ourselves to the fourth quadrant and draw an auxiliary triangle in order to determine the angle there.

	[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g2.gif\|center]]
		+
		+	If we call
		+	<math>x</math>
		+	the side adjacent to the angle
		+	<math>\alpha </math>
		+	then the fact that
		+	<math>\tan v=-{1}/{\sqrt{3}}\;</math>
		+	gives the length of the opposite side as
		+	<math>{x}/{\sqrt{3}}\;</math>.
		+

	[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]		[[Image:4_4_1_g3.gif\|center]]
		+
		+	Pythagoras' theorem gives
		+
		+
		+	<math>x^{2}+\left( \frac{x}{\sqrt{3}} \right)^{2}=1^{2}</math>
		+
		+
		+	and this equation has the solution
		+	<math>x={\sqrt{3}}/{2}\;</math>, which means that
		+
		+
		+	<math>\cos \alpha =\frac{{\sqrt{3}}/{2}\;}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
		+
		+	i.e.
		+	<math>\alpha ={\pi }/{6}\;</math>. Because the angle
		+	<math>v</math>
		+	in the fourth quadrant is the complement of
		+	<math>\alpha </math>
		+
		+	<math>v</math>
		+	is given by
		+
		+
		+	<math>v=2\pi -\alpha =2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}</math>.
		+	If we subtract half a turn,
		+	<math>\pi </math>, we obtain the other angle
		+
		+
		+	<math>v=\frac{11\pi }{6}-\pi =\frac{5\pi }{6}</math>

Tekbot: Lösning 4.4:1g moved to Solution 4.4:1g: Robot: moved page

2008-09-09T10:01:43Z

Lösning 4.4:1g moved to Solution 4.4:1g: Robot: moved page

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Version vom 10:01, 9. Sep. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

2008-08-21T07:17:59Z

Robot: Automated text replacement (-[[Bild: +[[Image:)

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Madde um 10:51, 19. Aug. 2008

2008-08-19T10:51:30Z

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