Lösung 4.2:4b - Versionsgeschichte

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2009-08-24T12:35:57Z

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	Somit sehen wir, dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.		Somit sehen wir, dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.

-	~~[[Image~~:~~4_2_4b1~~.~~gif\|\|~~center]]	+	<center>{{:4.2.4b - Solution - The unit circle with angle 5π/3}}</center>

	Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht:		Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\|width="50%" align="center"\|~~[[Image~~:~~4_2_4_b2_de~~.~~gif]]~~	+	\|width="50%" align="center"\|{{:4.2.4b - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}
	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>		\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
	\|}		\|}

Bayerer um 15:48, 30. Jul. 2009

2009-07-30T15:48:27Z

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	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\|width="50%" align="center"\|[[Image:~~4_2_4_b2~~.gif]]	+	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_4_b2_de.gif]]
	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>		\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
	\|}		\|}

Markus.bez um 13:06, 18. Jun. 2009

2009-06-18T13:06:49Z

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	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	Danach schreiben wir <math>5\pi/3</math> ~~wie eine~~ Summe von <math>\pi</math>- und <math>\pi/2</math>-Termen,	+	Danach schreiben wir <math>5\pi/3</math> als Summe von <math>\pi</math>- und <math>\pi/2</math>-Termen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}

-	So sehen wir dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.	+	Somit sehen wir, dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.

	[[Image:4_2_4b1.gif\|\|center]]		[[Image:4_2_4b1.gif\|\|center]]

-	Mit ein ~~Wenig~~ Trigonometrie berechnen wir den Punkt am Einheitskreis, der ~~den~~ Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht,	+	Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
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	\|}		\|}

-	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math>, ~~und~~ also ist	+	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math>, also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 15:04, 4. Apr. 2009

2009-04-04T15:04:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:04, 4. Apr. 2009
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	\|}		\|}

-	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> und	+	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math>, und also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Martin um 15:03, 4. Apr. 2009

2009-04-04T15:03:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:03, 4. Apr. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~We start by subtracting~~ <math>2\pi</math> ~~from~~ <math>11\pi/3</math>, ~~so that we get an angle between~~ <math>0</math> ~~and~~ <math>2\pi </math>. ~~This doesn't change the cosine value~~	+	Zuerst subtrahieren wir <math>2\pi</math> von <math>11\pi/3</math>, sodass wir einen Winkel zwischen <math>0</math> und <math>2\pi </math> erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Then, by rewriting~~ <math>5\pi/3</math> ~~as a sum of~~ <math>\pi</math>- ~~and~~ <math>\pi/2</math>-~~terms~~,	+	Danach schreiben wir <math>5\pi/3</math> wie eine Summe von <math>\pi</math>- und <math>\pi/2</math>-Termen,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}

-	~~we see that~~ <math>5\pi/3</math> ~~is an angle in the fourth quadrant which makes an angle~~ <math>\pi/6</math> ~~with the negative~~ ''y''-~~axis~~.	+	So sehen wir dass <math>5\pi/3</math> im vierten Quadrant liegt, und den Winkel <math>\pi/6</math> mit der negativen ''y''-Achse bildet.

	[[Image:4_2_4b1.gif\|\|center]]		[[Image:4_2_4b1.gif\|\|center]]

-	~~With the help of an auxiliary triangle and a little trigonometry~~, ~~we can determine the coordinates for the point on a unit circle which corresponds to the angle~~	+	Mit ein Wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt am Einheitskreis, der den Winkel <math>5\pi/3\,</math> entspricht,
-	<math>5\pi/3\,</math>.	+

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_4_b2.gif]]		\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_4_b2.gif]]
-	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{~~opposite~~} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{~~adjacent~~} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>	+	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
	\|}		\|}

-	~~The point has coordinates~~ <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> ~~and~~	+	Der Punkt hat also die Koordinaten <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> und

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Tekbot: hat „Solution 4.2:4b“ nach „Lösung 4.2:4b“ verschoben: Robot: moved page

2008-10-22T14:56:24Z

hat „Solution 4.2:4b“ nach „Lösung 4.2:4b“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:56, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2008-10-22T08:52:08Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 08:52, 22. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	We start by subtracting <math>2\pi</math> from <math>11\pi/3</math>, so that we get an angle between <math>0</math> and <math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value		We start by subtracting <math>2\pi</math> from <math>11\pi/3</math>, so that we get an angle between <math>0</math> and <math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}

	Then, by rewriting <math>5\pi/3</math> as a sum of <math>\pi</math>- and <math>\pi/2</math>-terms,		Then, by rewriting <math>5\pi/3</math> as a sum of <math>\pi</math>- and <math>\pi/2</math>-terms,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}

	we see that <math>5\pi/3</math> is an angle in the fourth quadrant which makes an angle <math>\pi/6</math> with the negative ''y''-axis.		we see that <math>5\pi/3</math> is an angle in the fourth quadrant which makes an angle <math>\pi/6</math> with the negative ''y''-axis.
Zeile 21:		Zeile 21:
	The point has coordinates <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> and		The point has coordinates <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> and

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}

Tek um 08:37, 9. Okt. 2008

2008-10-09T08:37:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:37, 9. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	We start by subtracting	+	We start by subtracting <math>2\pi</math> from <math>11\pi/3</math>, so that we get an angle between <math>0</math> and <math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value
-	<math>2\pi </math>	+
-	from	+
-	<math>~~\frac{~~11\pi }{3}</math>, so that we get an angle between	+
-	<math>o</math>	+
-	and	+
-	<math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value	+

		+	{{Displayed math\|\|<math>\cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.}</math>}}

-	<math>~~\cos \frac{11~~\pi }{3~~}=\cos \left( \frac{11~~\pi ~~}{3}~~-2\pi ~~\right)=\cos \frac{5\pi }{3}~~</math>	+	Then, by rewriting <math>5\pi/3</math> as a sum of <math>\pi</math>- and <math>\pi/2</math>-terms,

		+	{{Displayed math\|\|<math>\frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}</math>}}

-	~~Then, by rewriting~~	+	we see that <math>5\pi/3</math> is an angle in the fourth quadrant which makes an angle <math>\pi/6</math> with the negative ''y''-axis.
-	<math>~~\frac{~~5\pi }{3}</math>	+
-	~~as a sum of~~	+
-	<math>\pi </~~math>~~	+
-	~~- and~~	+
-	~~<math>\frac{\pi }{2}~~</math>	+
-	-~~terms~~	+

		+	[[Image:4_2_4b1.gif\|\|center]]

-	<math>~~\frac{~~5\pi }{3}=\~~frac{3\pi +\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}~~</math>	+	With the help of an auxiliary triangle and a little trigonometry, we can determine the coordinates for the point on a unit circle which corresponds to the angle
		+	<math>5\pi/3\,</math>.

-	~~we see that~~	+	{\| width="100%"
-	<math>\frac{5\pi }{3}~~</math>~~	+	\|width="50%" align="center"\|[[Image:4_2_4_b2.gif]]
-	~~is an angle in the fourth quadrant which makes an angle~~	+	\|width="50%" align="left"\|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math>
-	~~<math>~~\frac{\pi }{6}</math>	+	\|}
-	~~with the negative~~	+
-	~~<math>y</math>~~	+
-	~~-axis.~~	+

		+	The point has coordinates <math>(1/2,-\sqrt{3}/2)</math> and

-	~~[[Image:4_2_4b1.gif]]~~	+	{{Displayed math\|\|<math>\cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.}</math>}}
-		+
-	~~With the help of a triangle and a little trigonometry, we can determine the coordinates for the point on a unit circle which corresponds to the angle~~	+
-	~~<math>\frac~~{~~5\pi }~~{~~3}</~~math~~> .~~	+
-		+
-		+
-	~~[[Image:4_2_4_b2.gif]]~~	+
-		+
-	~~The point has coordinates~~	+
-	~~<math>\left( \frac{1}{2} \right.,\left. -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	<math>\cos \frac{11\pi }{3}=\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}</math>.	+

Ian um 13:05, 28. Sep. 2008

2008-09-28T13:05:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:05, 28. Sep. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START}~~}	+	We start by subtracting
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_2_4b-1(~~2~~).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>2\pi </math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	from
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>\frac{11\pi }{3}</math>, so that we get an angle between
-	<~~center~~> ~~[[Image:4_2_4b~~-2(2~~).gif]]~~ </~~center~~>	+	<math>o</math>
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	and
		+	<math>2\pi </math>. This doesn't change the cosine value
		+
		+
		+	<math>\cos \frac{11\pi }{3}=\cos \left( \frac{11\pi }{3}-2\pi \right)=\cos \frac{5\pi }{3}</math>
		+
		+
		+	Then, by rewriting
		+	<math>\frac{5\pi }{3}</math>
		+	as a sum of
		+	<math>\pi </math>
		+	- and
		+	<math>\frac{\pi }{2}</math>
		+	-terms
		+
		+
		+	<math>\frac{5\pi }{3}=\frac{3\pi +\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}</math>
		+
		+	we see that
		+	<math>\frac{5\pi }{3}</math>
		+	is an angle in the fourth quadrant which makes an angle
		+	<math>\frac{\pi }{6}</math>
		+	with the negative
		+	<math>y</math>
		+	-axis.
		+
		+
	[[Image:4_2_4b1.gif]]		[[Image:4_2_4b1.gif]]
		+
		+	With the help of a triangle and a little trigonometry, we can determine the coordinates for the point on a unit circle which corresponds to the angle
		+	<math>\frac{5\pi }{3}</math> .
		+
		+
	[[Image:4_2_4_b2.gif]]		[[Image:4_2_4_b2.gif]]
		+
		+	The point has coordinates
		+	<math>\left( \frac{1}{2} \right.,\left. -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)</math>
		+	and
		+	<math>\cos \frac{11\pi }{3}=\cos \frac{5\pi }{3}=\frac{1}{2}</math>.

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2008-09-09T09:46:03Z

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