Lösung 4.1:10 - Versionsgeschichte

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2009-08-20T12:37:50Z

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-	<center> ~~[[Image~~:~~4_1_10-~~1~~(5)_~~.~~gif]]~~ </center>	+	<center>{{:4.1.10 - Solution - Two clothes-line triangles}}</center>

	Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir		Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir

Moni um 12:30, 6. Aug. 2009

2009-08-06T12:30:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:30, 6. Aug. 2009
Zeile 48:		Zeile 48:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>12x + 108y = 1728</math>\|(3")}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>12x + 108y = 1728</math>\|(3")}}

-	Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3'') gebracht, wobei (3'') linear ist.	+	Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3") gebracht, wobei (3") linear ist.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{ \begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{ \begin{align}

Moni um 12:27, 6. Aug. 2009

2009-08-06T12:27:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:27, 6. Aug. 2009
Zeile 93:		Zeile 93:
	Also hat die Gleichung die Lösungen		Also hat die Gleichung die Lösungen

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{~~and~~}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{und}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}

	Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).		Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).

Bayerer um 15:41, 23. Jul. 2009

2009-07-23T15:41:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:41, 23. Jul. 2009
Zeile 87:		Zeile 87:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}

-	~~und~~ also ist	+	also ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}

Markus.bez: Sprache und Formulierung

2009-06-16T14:03:00Z

Sprache und Formulierung

Martin um 18:57, 2. Apr. 2009

2009-04-02T18:57:29Z

(Unterschied zwischen Versionen)

Tekbot: hat „Solution 4.1:10“ nach „Lösung 4.1:10“ verschoben: Robot: moved page

2008-10-22T14:43:44Z

hat „Solution 4.1:10“ nach „Lösung 4.1:10“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:43, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2008-10-22T08:47:08Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

Tek um 13:34, 8. Okt. 2008

2008-10-08T13:34:12Z

(Unterschied zwischen Versionen)

Ian um 10:14, 28. Sep. 2008

2008-09-28T10:14:49Z

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Zeile 2:		Zeile 2:
	<center> [[Image:4_1_10-1(5)_.gif]] </center>		<center> [[Image:4_1_10-1(5)_.gif]] </center>

-	<center> [[Image:4_1_10-1(5).gif]] </center>
-	{{NAVCONTENT_STOP}}
-	{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[Image:4_1_10-2(5).gif]] </center>
-	{{NAVCONTENT_STOP}}
-	{{NAVCONTENT_START}}
-	<center> [[Image:4_1_10-3(5).gif]] </center>
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-	<center> [[Image:4_1_10-4(5).gif]] </center>
-	{{NAVCONTENT_STOP}}
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-	<center> [[Image:4_1_10-5(5).gif]] </center>
	{{NAVCONTENT_STOP}}		{{NAVCONTENT_STOP}}
		+
		+
		+
		+
		+	First, let's decide to determine all distance in dm (decimeters), so that we have all the distances as integers.
		+
		+	Call the length of the washing line from the trees to the hanger
		+	<math>y</math>
		+	and
		+	<math>z</math>, as in the figure below, and introduce two auxiliary triangles which have
		+	<math>y</math>
		+	and
		+	<math>z</math>
		+	as their hypotenuses. (As an approximation, we suppose that the taut washing line consists of two straight parts.)
		+
		+	Because the line is
		+	<math>\text{54}</math>
		+	dm long, we have
		+
		+
		+	<math>y+z=54</math>
		+	(1)
		+
		+	Then, Pythagoras' theorem gives the relations
		+
		+
		+	<math>y^{2}=x^{2}+12^{2}</math>
		+	(2)
		+
		+	<math>z^{2}=\left( x+6 \right)^{2}+36^{2}</math>
		+	(3)
		+
		+
		+	The idea now is to solve the equation system (1)-(3) by first eliminating
		+	<math>z</math>, so that we get two equations which only contain
		+	<math>x</math>
		+	and
		+	<math>y</math>. Then, eliminate
		+	<math>y</math>
		+	from one of these equations, so that we get an equation which determines
		+	<math>x</math>.
		+
		+	From (1), we have
		+	<math>z=\text{54}-y</math>, and substituting this into (3) gives us the equation
		+
		+
		+	<math>\left( \text{54}-y \right)^{2}=\left( x+6 \right)^{2}+36^{2}</math>
		+	(3')
		+
		+	Equations (2) and (3') together give a smaller equation system for
		+	<math>x</math>
		+	and
		+	<math>y</math>:
		+
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{align}
		+	& y^{2}=x^{2}+12^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \\
		+	& \left( \text{54}-y \right)^{2}=\left( x+6 \right)^{2}+36^{2}\quad \quad \left( \text{3}' \right) \\
		+	\end{align} \right.</math>
		+
		+
		+
		+
		+	Expand the quadratic terms on both sides of (3')
		+
		+
		+	<math>54^{2}-2\centerdot 54\centerdot y+y^{2}=x^{2}+2\centerdot 6\centerdot x+6^{2}+36^{2}</math>
		+
		+
		+	and simplify
		+
		+
		+	<math>2916-108y+y^{2}=x^{2}+12x+1332</math>
		+
		+
		+	Use (2) and replace
		+	<math>y^{\text{2}}</math>
		+	with
		+	<math>x^{\text{2}}+\text{12 }</math>
		+	in this equation,
		+
		+
		+	<math>2916-108y+x^{2}+144=x^{2}+12x+1332</math>
		+
		+
		+	which gets rid of the
		+	<math>x^{\text{2}}\text{ }</math>
		+	term ,
		+
		+
		+	<math>2916-108y+144=12x+1332</math>
		+
		+
		+	and further simplification gives the equation
		+
		+
		+	<math>12x+108y=1728\quad \quad \quad \quad \quad \left( \text{3}'' \right)</math>
		+
		+
		+	If we pause for a moment and summarize the situation, we see that we have succeeded in simplifying the equation system (2) and (3') to a system (2) and
		+	<math>\left( \text{3}'' \right)</math>, where one of the equations is linear
		+
		+
		+	<math>\left\{ \begin{align}
		+	& y^{2}=x^{2}+12^{2}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \\
		+	& 12x+108y=1728\quad \quad \quad \quad \quad \left( \text{3}'' \right) \\
		+	\end{align} \right.</math>
		+
		+
		+
		+	In this system, we can make
		+	<math>y\text{ }</math>
		+	the subject in
		+	<math>\left( \text{3}'' \right)</math>,
		+
		+
		+	<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>
		+
		+
		+	and substitute into (2):
		+
		+
		+	<math>\left( 16-\frac{x}{9} \right)^{2}=x^{2}+144</math>
		+
		+
		+	This is an equation which only contains
		+	<math>x</math>, and if we solve it, we will get our answer.
		+
		+	Expand the quadratic on the left-hand side,
		+
		+
		+	<math>16^{2}-2\centerdot 16\centerdot \frac{x}{9}+\left( \frac{x}{9} \right)^{2}=x^{2}+144</math>
		+
		+
		+
		+	and collect together all terms on one side,
		+
		+
		+	<math>\begin{align}
		+	& x^{2}-\frac{x^{2}}{81}+\frac{32}{9}x+144-16^{2}=0 \\
		+	& \\
		+	\end{align}</math>
		+
		+	which gives the equation
		+
		+
		+	<math>\frac{80}{81}x^{2}+\frac{32}{9}x-112=0</math>
		+
		+
		+	Multiply both sides by
		+	<math>\frac{81}{80}</math>
		+	so that we get the equation in standard form,
		+
		+
		+	<math>x^{2}+\frac{18}{5}x-\frac{567}{5}=0</math>
		+
		+
		+	Completing the square on the left-hand side gives
		+
		+
		+	<math>\left( x+\frac{9}{5} \right)^{2}-\left( \frac{9}{5} \right)^{2}-\frac{567}{5}=0</math>
		+
		+	and then
		+
		+
		+	<math>\left( x+\frac{9}{5} \right)^{2}=\frac{81}{25}+\frac{567}{5}=\frac{2916}{25}</math>
		+
		+
		+	i.e.
		+
		+
		+	<math>x=-\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}}=-\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}</math>
		+
		+
		+	This means that the equation has the solutions
		+
		+
		+	<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}</math>
		+	and
		+
		+	<math>x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9</math>
		+
		+
		+	The answer is thus
		+	<math>x=\text{9 }</math>
		+	dm (the negative root must be discarded).
		+
		+	To be sure that we have calculated correctly, we also look at the values of
		+	<math>y</math>
		+	and
		+	<math>z</math>, and check that the original equations (1) to (3) are satisfied.
		+
		+	Equation (3'') gives
		+
		+
		+	<math>y=16-\frac{x}{9}=16-1=15</math>
		+
		+
		+	and equation (1) gives
		+
		+
		+	<math>z=54-y=54-15=39</math>
		+
		+
		+	Now, we check that x=9,
		+	<math>y</math>
		+	=15 and z=39 satisfy the equations (1),(12) and (3).
		+
		+	LHS of (1)
		+	<math>=15+39=54</math>
		+
		+	RHS of (1)
		+	<math>=54</math>
		+
		+	LHS of (2)
		+	<math>=15^{2}=225</math>
		+
		+	RHS of (2)
		+	<math>=9^{2}+12^{2}=81+144=225</math>
		+
		+	LHS of (3)
		+	<math>=39^{2}=1521</math>
		+
		+	RHS of (3)
		+	<math>=\left( 9+6 \right)^{2}+36^{2}=15^{2}+36^{2}=225+1296=1521</math>

← Nächstältere Version		Version vom 14:03, 16. Jun. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter) ~~sodass~~ wir ~~mit~~ ganzen Zahlen arbeiten.	+	Zuerst schreiben wir alle Längen in dm (Dezimeter), damit wir in ganzen Zahlen arbeiten können.

-	Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen dass das Kleidungsstück schwer ist~~, ond dass~~ alle Abstände gerade sind).	+	Wir benennen die Abstände von den Bäumen zum Kleidungstück ''y'' und ''z'', wie im Bild unten. Wir erhalten so zwei Dreiecke mit den Hypotenusen ''y'' und ''z'' (Wir haben angenommen, dass das Kleidungsstück schwer ist und alle Abstände gerade sind).


	<center> [[Image:4_1_10-1(5)_.gif]] </center>		<center> [[Image:4_1_10-1(5)_.gif]] </center>

-	Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist erhalten wir	+	Nachdem die Wäscheleine 54 dm lang ist, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>\|(1)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>\|(1)}}
Zeile 36:		Zeile 36:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung,	+	Wir verwenden (2) und ersetzen <math>y^2</math> mit <math>x^2+12</math> in dieser Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332\,.</math>}}

-	~~und so~~ eliminieren wir alle''x''²-Terme,	+	So eliminieren wir alle''x''²-Terme:

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,.</math>}}

	Durch weitere Vereinfachung erhalten wir		Durch weitere Vereinfachung erhalten wir
Zeile 48:		Zeile 48:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>12x + 108y = 1728</math>\|(3")}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>12x + 108y = 1728</math>\|(3")}}

-	Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3'') gebracht, wo (3'') linear ist.	+	Wir haben jetzt die Gleichungen (2) und (3') in die Gleichungen (2) und (3'') gebracht, wobei (3'') linear ist.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{ \begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{ \begin{align}
Zeile 63:		Zeile 63:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}

-	Dies ist eine Gleichung mit nur ~~einen~~ Unbekannten ''x''~~, und~~ lösen wir ~~diese Gleichung erhalten~~ wir ~~''x''.~~	+	Dies ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten ''x''. Diese lösen wir, indem wir zuerst die Quadrate auf der linken Seite erweitern:

-	~~Wir erweitern die Quadraten auf der linken Seite~~	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144\,.</math>}}

-	~~{{Abgesetzte Formel\|\|<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144</math>}}~~	+	Dann schreiben wir alle Terme auf eine Seite
-		+
-	~~und sammeln~~ alle Terme auf ~~einer~~ Seite	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}

-	und erhalten ~~so die Gleichung~~	+	und erhalten damit

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}

-	Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math> ~~sodass~~ wir die Gleichung auf Standardform bringen,	+	Wir multiplizieren beide Seiten mit <math>81/80</math>, damit wir die Gleichung auf Standardform bringen:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}
Zeile 97:		Zeile 95:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}

-	Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die ~~Negative~~ Lösung müssen wir verwerfen).	+	Die Antwort ist also <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (Die negative Lösung müssen wir verwerfen).

-	Um zu prüfen ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen, und testen ob diese Werte zusammen mit ''x'' die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.	+	Um zu prüfen, ob wir richtig gerechnet haben, können wir zuerst ''y'' und ''z'' berechnen und testen, ob diese Werte zusammen mit ''x'' die Gleichungen (1) - (3) erfüllen.

	Die Gleichung (3") gibt		Die Gleichung (3") gibt
Zeile 109:		Zeile 107:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}

-	Jetzt prüfen wir ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen,	+	Jetzt prüfen wir, ob <math>x=9</math>, <math>y=15</math> und <math>z=39</math> die Gleichungen (1), (2) und (3) erfüllen:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}

← Nächstältere Version		Version vom 08:47, 22. Okt. 2008
Zeile 9:		Zeile 9:
	Because the line is 54 dm long, we have		Because the line is 54 dm long, we have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>\|(1)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y+z=54\,\textrm{.}</math>\|(1)}}

	Then, the Pythagorean theorem gives the relations		Then, the Pythagorean theorem gives the relations

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y^2 = x^2 + 12^2\,,</math>\|(2)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y^2 = x^2 + 12^2\,,</math>\|(2)}}
-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>\|(3)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>\|(3)}}

	The idea now is to solve the system of equations (1)-(3) by first eliminating ''z'', so that we get two equations which only contain ''x'' and ''y''. Then, eliminate ''y'' from one of these equations, so that we get an equation which determines ''x''.		The idea now is to solve the system of equations (1)-(3) by first eliminating ''z'', so that we get two equations which only contain ''x'' and ''y''. Then, eliminate ''y'' from one of these equations, so that we get an equation which determines ''x''.
Zeile 20:		Zeile 20:
	From (1), we have <math>z = 54-y</math>, and substituting this into (3) gives us the equation		From (1), we have <math>z = 54-y</math>, and substituting this into (3) gives us the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>\|(3')}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}</math>\|(3')}}

	Equations (2) and (3') together give a smaller system for ''x'' and ''y'',		Equations (2) and (3') together give a smaller system for ''x'' and ''y'',

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{ \begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{ \begin{align}
	& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]		& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]
	& (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}		& (54-y)^2 = (x+6)^2 + 36^2\,\textrm{.}
Zeile 31:		Zeile 31:
	Expand the quadratic terms on both sides of (3'),		Expand the quadratic terms on both sides of (3'),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>54^2 - 2\cdot 54\cdot y + y^2 = x^2 + 2\cdot 6\cdot x + 6^2 + 36^2\,,</math>}}

	and simplify		and simplify

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + y^2 = x^2 + 12x + 1332\,\textrm{.}</math>}}

	Use (2) and replace <math>y^2</math> with <math>x^2+12</math> in this equation,		Use (2) and replace <math>y^2</math> with <math>x^2+12</math> in this equation,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + x^2 + 144 = x^2 + 12x + 1332</math>}}

	which gets rid of the ''x''²-term,		which gets rid of the ''x''²-term,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2916 - 108y + 144 = 12x + 1332\,,</math>}}

	and further simplification gives the equation		and further simplification gives the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>12x + 108y = 1728</math>\|(3")}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>12x + 108y = 1728</math>\|(3")}}

	If we pause for a moment and summarize the situation, we see that we have succeeded in simplifying the equation system (2) and (3') to a system (2) and (3"), where one of the equations is linear		If we pause for a moment and summarize the situation, we see that we have succeeded in simplifying the equation system (2) and (3') to a system (2) and (3"), where one of the equations is linear

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\left\{ \begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\left\{ \begin{align}
	& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]		& y^2 = x^2 + 12^2\,,\\[5pt]
	& 12x+108y=1728\,\textrm{.}		& 12x+108y=1728\,\textrm{.}
Zeile 58:		Zeile 58:
	In this system, we can make ''y'' the subject in (3"),		In this system, we can make ''y'' the subject in (3"),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y=\frac{1728-12x}{108}=16-\frac{x}{9}</math>}}

	and substitute into (2),		and substitute into (2),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(16-\frac{x}{9}\Bigr)^2 = x^2 + 144\,\textrm{.}</math>}}

	This is an equation which only contains ''x'', and if we solve it, we will get our answer.		This is an equation which only contains ''x'', and if we solve it, we will get our answer.
Zeile 68:		Zeile 68:
	Expand the quadratic on the left-hand side,		Expand the quadratic on the left-hand side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>16^{2}-2\cdot 16\cdot \frac{x}{9} + \Bigl(\frac{x}{9} \Bigr)^2 = x^2 + 144</math>}}

	and collect together all terms on one side,		and collect together all terms on one side,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2 - \frac{x^{2}}{81} + \frac{32}{9}x + 144 - 16^{2} = 0\,,</math>}}

	which gives the equation		which gives the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\frac{80}{81}x^2 + \frac{32}{9}x - 112 = 0\,\textrm{.}</math>}}

	Multiply both sides by <math>81/80</math> so that we get the equation in standard form,		Multiply both sides by <math>81/80</math> so that we get the equation in standard form,

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2} + \frac{18}{5}x - \frac{567}{5} = 0\,\textrm{.}</math>}}

	Completing the square on the left-hand side gives		Completing the square on the left-hand side gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{9}{5}\Bigr)^{2} - \frac{567}{5} = 0</math>}}

	and then		and then

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\Bigl(x+\frac{9}{5}\Bigr)^2 = \frac{81}{25} + \frac{567}{5} = \frac{2916}{25}\,,</math>}}

	i.e.		i.e.

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = -\frac{9}{5}\pm \sqrt{\frac{2916}{25}} = -\frac{9}{5}\pm \frac{54}{5}\,\textrm{.}</math>}}

	This means that the equation has the solutions		This means that the equation has the solutions

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x=-\frac{9}{5}-\frac{54}{5}=-\frac{63}{5}\qquad\text{and}\qquad x=-\frac{9}{5}+\frac{54}{5}=9\,\textrm{.}</math>}}

	The answer is thus <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (the negative root must be discarded).		The answer is thus <math>x=9\ \textrm{dm}</math> (the negative root must be discarded).
Zeile 105:		Zeile 105:
	Equation (3") gives		Equation (3") gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>y = 16-\frac{x}{9} = 16-1 = 15</math>}}

	and equation (1) gives		and equation (1) gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>z=54-y=54-15=39\,\textrm{.}</math>}}

	Now, we check that <math>x=9</math>, <math>y=15</math> and <math>z=39</math> satisfy the equations (1), (2) and (3),		Now, we check that <math>x=9</math>, <math>y=15</math> and <math>z=39</math> satisfy the equations (1), (2) and (3),

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	\textrm{LHS of (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt]		\textrm{LHS of (1)} &= 15+39 = 54\,,\\[5pt]
	\textrm{RHS of (1)} &= 54\,,\\[10pt]		\textrm{RHS of (1)} &= 54\,,\\[10pt]