Lösung 3.2:2 - Versionsgeschichte

Moni um 10:18, 9. Aug. 2009

2009-08-09T10:18:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:18, 9. Aug. 2009
Zeile 3:		Zeile 3:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>\|(*)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>\|(*)}}

-	und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten	+	und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung und erhalten

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>}}

Moni: (*) an falscher Stelle

2009-08-05T21:43:25Z

(*) an falscher Stelle

← Nächstältere Version		Version vom 21:43, 5. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Wir quadrieren zuerst die Gleichung		Wir quadrieren zuerst die Gleichung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>\|(*)}}

	und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten		und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>~~\|(*)~~}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>}}

	oder		oder

Bayerer um 12:31, 23. Jul. 2009

2009-07-23T12:31:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:31, 23. Jul. 2009
Zeile 45:		Zeile 45:
	:{\|		:{\|
	\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>		\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>
-	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> ~~and~~	+	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> und
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|

Markus.bez um 11:43, 10. Jun. 2009

2009-06-10T11:43:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:43, 10. Jun. 2009
Zeile 15:		Zeile 15:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Und wir~~ erhalten die Gleichung	+	Wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}
Zeile 25:		Zeile 25:
	:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>		:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>

-	Eine schnelle Kontrolle zeigt dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:	+	Eine schnelle Kontrolle zeigt, dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:

	:{\|		:{\|
Zeile 41:		Zeile 41:
	\|}		\|}

-	Wir testen schließlich ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:	+	Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:

	:{\|		:{\|
Zeile 60:		Zeile 60:


-	Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.	+	Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

Martin um 12:36, 26. Mär. 2009

2009-03-26T12:36:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:36, 26. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The first thing we do is to square both sides of the equation~~	+	Wir quadrieren zuerst die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}

-	~~to obtain an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called spurious roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation),~~ so ~~we need to test the solutions in the original root equation before we answer~~.	+	und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten
-		+
-	~~If we expand the right-hand side in the squared equation~~, ~~we get~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>\|(*)}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>\|(*)}}

-	~~which we also can write as~~	+	oder

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}

-	~~Completing the square of the left-hand side gives~~	+	Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}

-	~~The equation then becomes~~	+	Und wir erhalten die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}

-	~~which has solutions~~	+	mit den Lösungen

	:*<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>		:*<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>
Zeile 27:		Zeile 25:
	:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>		:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>

-	~~A quick check shows also that <math>x=-3</math> and <math>x=1</math> are solutions to the squared equation~~ (*):	+	Eine schnelle Kontrolle zeigt dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:

	:{\|		:{\|
	\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>		\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>
-	\|\|<math>\ \text{~~LHS~~} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1</math> ~~and~~	+	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1</math> und
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|
-	\|\|<math>\ \text{~~RHS~~} = (-3+2)^{2} = 1</math>	+	\|\|<math>\ \text{Rechte Seite} = (-3+2)^{2} = 1</math>
	\|-		\|-
	\|\|<ul><li>''x'' = 1:</li></ul>		\|\|<ul><li>''x'' = 1:</li></ul>
-	\|\|<math>\ \text{~~LHS~~} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9</math> ~~and~~	+	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9</math> und
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|
-	\|\|<math>\ \text{~~RHS~~} = (1+2)^2 = 9</math>	+	\|\|<math>\ \text{Rechte Seite} = (1+2)^2 = 9</math>
	\|}		\|}

-	~~When we test the solutions in the root equation, we get that~~	+	Wir testen schließlich ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:

	:{\|		:{\|
	\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>		\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>
-	\|\|<math>\ \text{~~LHS~~} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> and	+	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> and
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|
-	\|\|<math>\ \text{~~RHS~~} = -3+2 = -1</math>	+	\|\|<math>\ \text{Rechte Seite} = -3+2 = -1</math>
	\|-		\|-
	\|\|<ul><li>''x'' = 1:</li></ul>		\|\|<ul><li>''x'' = 1:</li></ul>
-	\|\|<math>\ \text{~~LHS~~} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3</math>	+	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3</math>
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|
-	\|\|<math>\ \text{~~RHS~~} = 1+2 = 3</math>	+	\|\|<math>\ \text{Rechte Seite} = 1+2 = 3</math>
	\|}		\|}

-	~~and therefore~~ <math>x=1</math> ~~is the only solution to the root equation~~ (<math>x=-3</math> ~~is a spurious root~~).	+	Daher ist <math>x=1</math> die einzige Lösung der Gleichung (<math>x=-3</math> ist eine Scheinlösung).


-	~~Note~~: ~~The check we carry out when substituting the solutions into equation~~ (*) ~~is not strictly speaking necessary, but more for seeing that we haven't calculated incorrectly~~. ~~On the other hand, testing in the root equation is necessary~~.	+	Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

Tekbot: hat „Solution 3.2:2“ nach „Lösung 3.2:2“ verschoben: Robot: moved page

2008-10-22T14:28:05Z

hat „Solution 3.2:2“ nach „Lösung 3.2:2“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:28, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2008-10-22T08:40:38Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 08:40, 22. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	The first thing we do is to square both sides of the equation		The first thing we do is to square both sides of the equation

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}

	to obtain an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called spurious roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation), so we need to test the solutions in the original root equation before we answer.		to obtain an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called spurious roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation), so we need to test the solutions in the original root equation before we answer.
Zeile 7:		Zeile 7:
	If we expand the right-hand side in the squared equation, we get		If we expand the right-hand side in the squared equation, we get

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>\|(*)}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>\|(*)}}

	which we also can write as		which we also can write as

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}

	Completing the square of the left-hand side gives		Completing the square of the left-hand side gives

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}

	The equation then becomes		The equation then becomes

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}

	which has solutions		which has solutions

Tek um 11:39, 1. Okt. 2008

2008-10-01T11:39:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:39, 1. Okt. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
	The first thing we do is to square both sides of the equation		The first thing we do is to square both sides of the equation

		+	{{Displayed math\|\|<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}

-	~~<math>2x+7=\left( x+2 \right)^{2}</math>~~	+	to obtain an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called spurious roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation), so we need to test the solutions in the original root equation before we answer.
-		+
-		+
-	to ~~get~~ an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called ~~false~~ roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation), so we need to test the solutions in the original root equation before we answer.	+

	If we expand the right-hand side in the squared equation, we get		If we expand the right-hand side in the squared equation, we get

-		+	{{Displayed math\|\|<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>\|(*)}}
-	~~(*)~~	+
-	<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>	+
-		+

	which we also can write as		which we also can write as

-		+	{{Displayed math\|\|<math>x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}</math>}}
-	<math>x^{2}+2x-3=0</math>	+
-		+

	Completing the square of the left-hand side gives		Completing the square of the left-hand side gives

		+	{{Displayed math\|\|<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}}

-	<math>x^{2}+2x-3=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}-3=\left( x+1 \right)^{2}-4.</math>
-
-
	The equation then becomes		The equation then becomes

-		+	{{Displayed math\|\|<math>(x+1)^2 = 4</math>}}
-	<math>~~\left~~( x+1 ~~\right~~)^{2}=4</math>	+
-		+

	which has solutions		which has solutions

		+	:*<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>

-	~~<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>~~	+	:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>
-		+
-		+
-	<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3~~</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~A quick check shows also that~~	+
-	~~<math>x=-\text{3 }</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~<math>x=\text{1 }</math>~~	+
-	~~are solutions to the squared equation (*)~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>x=-\text{3}</math>: LHS~~	+
-	~~<math>=2\centerdot \left( -3 \right)+7=-6+7=1</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~RHS~~	+
-	~~<math>=\left( -3+2 \right)^{2}=1</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>x=\text{1}</math>: LHS~~	+
-	~~<math>=2\centerdot 1+7=2+7=9</math>~~	+
-	~~and~~	+
-	~~RHS~~	+
-	~~<math>=\left( 1+2 \right)^{2}=9</math>~~	+
-		+
-		+
-	~~When we test solution in the root equation, we get that~~	+
-		+
-		+
-	~~<math>x=-\text{3}</math>: LHS~~	+
-	~~<math>=\sqrt{2\centerdot \left( -3 \right)+7}=\sqrt{-6+7}=1~~</math>	+

-	~~RHS~~	+	A quick check shows also that <math>x=-3</math> and <math>x=1</math> are solutions to the squared equation (*):
-	<math>=-3+2=-1</math>	+

		+	:{\|
		+	\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>
		+	\|\|<math>\ \text{LHS} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1</math> and
		+	\|-
		+	\|\|
		+	\|\|<math>\ \text{RHS} = (-3+2)^{2} = 1</math>
		+	\|-
		+	\|\|<ul><li>''x'' = 1:</li></ul>
		+	\|\|<math>\ \text{LHS} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9</math> and
		+	\|-
		+	\|\|
		+	\|\|<math>\ \text{RHS} = (1+2)^2 = 9</math>
		+	\|}

-	~~<math>x=\text{1}</math>: LHS~~	+	When we test the solutions in the root equation, we get that
-	~~<math>=\sqrt{2\centerdot 1+7}=\sqrt{2+7}=3</math>~~	+

-	RHS	+	:{\|
-	<math>=1+2=3</math>	+	\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>
		+	\|\|<math>\ \text{LHS} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> and
		+	\|-
		+	\|\|
		+	\|\|<math>\ \text{RHS} = -3+2 = -1</math>
		+	\|-
		+	\|\|<ul><li>''x'' = 1:</li></ul>
		+	\|\|<math>\ \text{LHS} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3</math>
		+	\|-
		+	\|\|
		+	\|\|<math>\ \text{RHS} = 1+2 = 3</math>
		+	\|}

		+	and therefore <math>x=1</math> is the only solution to the root equation (<math>x=-3</math> is a spurious root).

-	and therefore
-	<math>x=\text{1}</math>
-	is the only solution to the root equation (
-	<math>x=-\text{3}</math>
-	is a false root).

-	~~NOTE~~: The check we carry out when substituting the solutions into equation (*) is not strictly speaking necessary, but more for seeing that we haven't calculated incorrectly. On the other hand, testing in the root equation is necessary.	+	Note: The check we carry out when substituting the solutions into equation (*) is not strictly speaking necessary, but more for seeing that we haven't calculated incorrectly. On the other hand, testing in the root equation is necessary.

Ian um 10:30, 25. Sep. 2008

2008-09-25T10:30:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:30, 25. Sep. 2008
Zeile 10:		Zeile 10:


		+	(*)
	<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>		<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>

Ian um 12:34, 23. Sep. 2008

2008-09-23T12:34:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 12:34, 23. Sep. 2008
Zeile 1:		Zeile 1:
-	{{~~NAVCONTENT_START~~}}	+	The first thing we do is to square both sides of the equation
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_2_2_1~~(3).~~gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+
-	{~~{NAVCONTENT_START~~}}	+	<math>2x+7=\left( x+2 \right)^{2}</math>
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_2_2~~-2(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP}~~}	+
-	{~~{NAVCONTENT_START}~~}	+	to get an equation without a root sign. It is possible that we thereby introduce so-called false roots (solutions to the new equation which are not solutions to the old equation), so we need to test the solutions in the original root equation before we answer.
-	<~~center~~> ~~[[Image:3_2_2~~-3(3)~~.gif]]~~ </~~center~~>	+
-	{{~~NAVCONTENT_STOP~~}}	+	If we expand the right-hand side in the squared equation, we get
		+
		+
		+	<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>
		+
		+
		+	which we also can write as
		+
		+
		+	<math>x^{2}+2x-3=0</math>
		+
		+
		+	Completing the square of the left-hand side gives
		+
		+
		+	<math>x^{2}+2x-3=\left( x+1 \right)^{2}-1^{2}-3=\left( x+1 \right)^{2}-4.</math>
		+
		+
		+	The equation then becomes
		+
		+
		+	<math>\left( x+1 \right)^{2}=4</math>
		+
		+
		+	which has solutions
		+
		+
		+	<math>x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1</math>
		+
		+
		+	<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math>
		+
		+
		+	A quick check shows also that
		+	<math>x=-\text{3 }</math>
		+	and
		+	<math>x=\text{1 }</math>
		+	are solutions to the squared equation (*)
		+
		+
		+	<math>x=-\text{3}</math>: LHS
		+	<math>=2\centerdot \left( -3 \right)+7=-6+7=1</math>
		+	and
		+	RHS
		+	<math>=\left( -3+2 \right)^{2}=1</math>
		+
		+
		+	<math>x=\text{1}</math>: LHS
		+	<math>=2\centerdot 1+7=2+7=9</math>
		+	and
		+	RHS
		+	<math>=\left( 1+2 \right)^{2}=9</math>
		+
		+
		+	When we test solution in the root equation, we get that
		+
		+
		+	<math>x=-\text{3}</math>: LHS
		+	<math>=\sqrt{2\centerdot \left( -3 \right)+7}=\sqrt{-6+7}=1</math>
		+
		+	RHS
		+	<math>=-3+2=-1</math>
		+
		+
		+	<math>x=\text{1}</math>: LHS
		+	<math>=\sqrt{2\centerdot 1+7}=\sqrt{2+7}=3</math>
		+
		+	RHS
		+	<math>=1+2=3</math>
		+
		+
		+	and therefore
		+	<math>x=\text{1}</math>
		+	is the only solution to the root equation (
		+	<math>x=-\text{3}</math>
		+	is a false root).
		+
		+	NOTE: The check we carry out when substituting the solutions into equation (*) is not strictly speaking necessary, but more for seeing that we haven't calculated incorrectly. On the other hand, testing in the root equation is necessary.

← Nächstältere Version		Version vom 12:31, 23. Jul. 2009
Zeile 45:		Zeile 45:
	:{\|		:{\|
	\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>		\|\|<ul><li>''x'' = -3:</li></ul>
-	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> ~~and~~	+	\|\|<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> und
	\|-		\|-
	\|\|		\|\|