Lösung 2.3:10b - Versionsgeschichte

Tek: Replaced figures with metapost figures

2009-08-19T13:47:47Z

Replaced figures with metapost figures

← Nächstältere Version		Version vom 13:47, 19. Aug. 2009
Zeile 4:		Zeile 4:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_3_10_b1~~-1~~.gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x²}}
	\|width="10px"\|		\|width="10px"\|
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_3_10_b1-~~2.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.3.10b - Solution - The region x ≤ 2y - 3}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''²</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''²</small>
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	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_3_10_b2~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x² and x ≤ 2y - 3}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² und x ≥ 2''y'' - 3</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² und x ≥ 2''y'' - 3</small>

Moni um 09:46, 9. Aug. 2009

2009-08-09T09:46:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 09:46, 9. Aug. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel		Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
-	<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben, und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.	+	<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.


Zeile 37:		Zeile 37:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist, und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer ~~als~~ oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.	+	Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

Bayerer um 11:57, 22. Jul. 2009

2009-07-22T11:57:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 11:57, 22. Jul. 2009
Zeile 25:		Zeile 25:

	{{Abgesetzte Formel\|\|		{{Abgesetzte Formel\|\|
-	<math>y_{\scriptstyle\text{~~line~~}} - y_{\scriptstyle\text{~~parabola~~}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}	+	<math>y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}

	Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir		Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir

Markus.bez um 14:06, 9. Jun. 2009

2009-06-09T14:06:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:06, 9. Jun. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
	Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel		Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
-	<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben, und daher definiert sie das Gebiet ~~Unter~~ der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.	+	<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben, und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.


Zeile 13:		Zeile 13:
	\|}		\|}

-	Es scheint so zu sein, als ~~liegt~~ die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.	+	Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.


Zeile 22:		Zeile 22:
	\|}		\|}

-	Wir kontrollieren ob so auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied	+	Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied

	{{Abgesetzte Formel\|\|		{{Abgesetzte Formel\|\|
Zeile 37:		Zeile 37:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	Wir sehen hier dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist, und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer als, oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz ~~unterhalt~~ der Gerade.	+	Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist, und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer als oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

Martin um 21:03, 16. Mär. 2009

2009-03-16T21:03:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:03, 16. Mär. 2009
Zeile 19:		Zeile 19:
	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b2.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b2.gif\|center]]
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² ~~and~~ x ≥ 2''y'' - 3</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² und x ≥ 2''y'' - 3</small>
	\|}		\|}

Martin um 21:02, 16. Mär. 2009

2009-03-16T21:02:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:02, 16. Mär. 2009
Zeile 8:		Zeile 8:
	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-2.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-2.gif\|center]]
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|<small>~~The region~~ y ≤ 1 - ''x''²</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''²</small>
	\|\|		\|\|
-	\|align="center"\|<small>~~The region~~ x ≥ 2''y'' - 3</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet x ≥ 2''y'' - 3</small>
	\|}		\|}

Zeile 19:		Zeile 19:
	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b2.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b2.gif\|center]]
	\|-		\|-
-	\|align="center"\|<small>~~The region~~ y ≤ 1 - ''x''² and x ≥ 2''y'' - 3</small>	+	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² and x ≥ 2''y'' - 3</small>
	\|}		\|}

Martin um 21:02, 16. Mär. 2009

2009-03-16T21:02:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 21:02, 16. Mär. 2009
Zeile 1:		Zeile 1:
-	~~The inequality~~ <math>y\le 1-x^{2}</math> ~~defines the area under and on the curve~~	+	Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel
-	<math>y=1-x^{2}</math>~~, which is a parabola with a maximum at (0,1)~~. ~~We can rewrite the other inequality~~ <math>x\ge 2y-3</math> as <math>y\le x/2+3/2</math> ~~and it defines the area under and on the straight line~~ <math>y=x/2+3/2</math>.	+	<math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben, und daher definiert sie das Gebiet Unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>.


Zeile 13:		Zeile 13:
	\|}		\|}

-		+	Es scheint so zu sein, als liegt die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt.
-	~~Of the figures above~~, ~~it seems that the region associated with the parabola lies completely under the line~~ <math>y=x/2+3/2</math> ~~and this means that the area under the parabola satisfies both inequalities~~.	+


Zeile 23:		Zeile 22:
	\|}		\|}

-		+	Wir kontrollieren ob so auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied
-	~~Note: If you feel unsure about whether the parabola really does lie under the line~~, ~~i.e. that it just happens to look as though it does, we can investigate if the~~ ''y''-~~values on the line <math>y_{\scriptstyle\text{line}} = x/2+3/2</math> is always larger than the corresponding~~ ''y''-~~value on the parabola <math>y_{\scriptstyle\text{parabola}} = 1-~~x~~^{2}</math> by studying the difference between them~~	+

	{{Abgesetzte Formel\|\|		{{Abgesetzte Formel\|\|
	<math>y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}		<math>y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}

-	If this difference is positive regardless of how ''x'' is chosen, then we know that the line's ''y''-value is always greater than the parabola's ''y''-value. After a little simplification and completing the square, we have	+	Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
-	y_{\scriptstyle\text{~~line~~}} - y_{\scriptstyle\text{~~parabola~~}}	+	y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}}
	&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]		&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]
	&= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt]		&= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt]
Zeile 39:		Zeile 37:
	\end{align}</math>}}		\end{align}</math>}}

-	~~and this expression is always positive because~~ <math>\tfrac{7}{16}</math> ~~is a positive number and~~ <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> ~~is a quadratic which is never negative. In other words~~, ~~the parabola is completely under the line~~.	+	Wir sehen hier dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist, und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer als, oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalt der Gerade.

Tekbot: hat „Solution 2.3:10b“ nach „Lösung 2.3:10b“ verschoben: Robot: moved page

2008-10-22T14:04:05Z

hat „Solution 2.3:10b“ nach „Lösung 2.3:10b“ verschoben: Robot: moved page

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Version vom 14:04, 22. Okt. 2008

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

2008-10-22T08:30:48Z

Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel)

← Nächstältere Version		Version vom 08:30, 22. Okt. 2008
Zeile 26:		Zeile 26:
	Note: If you feel unsure about whether the parabola really does lie under the line, i.e. that it just happens to look as though it does, we can investigate if the ''y''-values on the line <math>y_{\scriptstyle\text{line}} = x/2+3/2</math> is always larger than the corresponding ''y''-value on the parabola <math>y_{\scriptstyle\text{parabola}} = 1-x^{2}</math> by studying the difference between them		Note: If you feel unsure about whether the parabola really does lie under the line, i.e. that it just happens to look as though it does, we can investigate if the ''y''-values on the line <math>y_{\scriptstyle\text{line}} = x/2+3/2</math> is always larger than the corresponding ''y''-value on the parabola <math>y_{\scriptstyle\text{parabola}} = 1-x^{2}</math> by studying the difference between them

-	{{~~Displayed math~~\|\|	+	{{Abgesetzte Formel\|\|
	<math>y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}		<math>y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}}

	If this difference is positive regardless of how ''x'' is chosen, then we know that the line's ''y''-value is always greater than the parabola's ''y''-value. After a little simplification and completing the square, we have		If this difference is positive regardless of how ''x'' is chosen, then we know that the line's ''y''-value is always greater than the parabola's ''y''-value. After a little simplification and completing the square, we have

-	{{~~Displayed math~~\|\|<math>\begin{align}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}
	y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}}		y_{\scriptstyle\text{line}} - y_{\scriptstyle\text{parabola}}
	&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]		&= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt]

Tek um 14:45, 29. Sep. 2008

2008-09-29T14:45:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:45, 29. Sep. 2008
Zeile 6:		Zeile 6:
	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-1.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-1.gif\|center]]
	\|width="10px"\|		\|width="10px"\|
-	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-1.gif\|center]]	+	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-2.gif\|center]]
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>The region y ≤ 1 - ''x''²</small>		\|align="center"\|<small>The region y ≤ 1 - ''x''²</small>

← Nächstältere Version		Version vom 13:47, 19. Aug. 2009
Zeile 4:		Zeile 4:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_3_10_b1~~-1~~.gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x²}}
	\|width="10px"\|		\|width="10px"\|
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_3_10_b1-~~2.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.3.10b - Solution - The region x ≤ 2y - 3}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''²</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''²</small>
Zeile 17:		Zeile 17:

	{\| align="center"		{\| align="center"
-	\|align="center"\|~~[[Image~~:~~2_3_10_b2~~.~~gif\|center]]~~	+	\|align="center"\|{{:2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x² and x ≤ 2y - 3}}
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² und x ≥ 2''y'' - 3</small>		\|align="center"\|<small>Das Gebiet y ≤ 1 - ''x''² und x ≥ 2''y'' - 3</small>

← Nächstältere Version		Version vom 14:45, 29. Sep. 2008
Zeile 6:		Zeile 6:
	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-1.gif\|center]]		\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-1.gif\|center]]
	\|width="10px"\|		\|width="10px"\|
-	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-1.gif\|center]]	+	\|align="center"\|[[Image:2_3_10_b1-2.gif\|center]]
	\|-		\|-
	\|align="center"\|<small>The region y ≤ 1 - ''x''²</small>		\|align="center"\|<small>The region y ≤ 1 - ''x''²</small>