4.4 Trigonometrische Gleichungen - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:33, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:33:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:33, 11. Aug. 2010
Zeile 20:		Zeile 20:
	* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.		* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Grundlegende Gleichungen ==		== A - Grundlegende Gleichungen ==

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

2009-09-02T07:20:34Z

Added skype and exercise links at the bottom of the page

← Nächstältere Version		Version vom 07:20, 2. Sep. 2009
Zeile 185:		Zeile 185:
	die wir im Beispiel 2 gelöst haben.		die wir im Beispiel 2 gelöst haben.
	</div>		</div>
		+	<br><br>

		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.4 Übungen\|Übungen]]''' .

-	[[4.4 Übungen\|Übungen]]

	<div class="inforuta" style="width:580px;">		<div class="inforuta" style="width:580px;">

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

2009-08-28T15:01:46Z

Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

← Nächstältere Version		Version vom 15:01, 28. Aug. 2009
Zeile 194:		Zeile 194:
	'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''		'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''

-	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Tek: Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

2009-08-19T10:33:00Z

Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

← Nächstältere Version		Version vom 10:33, 19. Aug. 2009
Zeile 41:		Zeile 41:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{cases}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{cases}
-	x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\	+	x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
-	x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi	+	x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
-	\end{cases}</math>}}	+	\end{cases}</math>}}
	wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.		wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

Zeile 114:		Zeile 114:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	x = 2n\pi</math>}}	+	x = 2n\pi</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 129:		Zeile 129:
	Wir klammern den Faktor <math>\sin x</math> aus und erhalten		Wir klammern den Faktor <math>\sin x</math> aus und erhalten
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}	+	\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}

	So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind		So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\begin{cases}	+	\begin{cases}
-	x &= n\pi\\	+	x &= n\pi\\
-	x &= -\pi/6+2n\pi\\	+	x &= -\pi/6+2n\pi\\
-	x &= 7\pi/6+2n\pi	+	x &= 7\pi/6+2n\pi
-	\end{cases}	+	\end{cases}
-	</math>}}	+	</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 168:		Zeile 168:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\begin{align*}	+	\begin{align*}
-	4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\	+	4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
-	4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\	+	4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
-	–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\	+	–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
-	\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\	+	\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}

	Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\cos x</math>, mit den Lösungen		Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\cos x</math>, mit den Lösungen
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad	+	\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad
-	\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}	+	\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}

	Nachdem <math>\cos x</math> nie kleiner als <math>–1</math> ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung		Nachdem <math>\cos x</math> nie kleiner als <math>–1</math> ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung

Bayerer um 15:05, 14. Aug. 2009

2009-08-14T15:05:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:05, 14. Aug. 2009
Zeile 21:		Zeile 21:
	}}		}}

-	== Grundlegende Gleichungen ==	+	== A - Grundlegende Gleichungen ==

	Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.		Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.
Zeile 87:		Zeile 87:


-	== Kompliziertere Gleichungen ==	+	== B - Kompliziertere Gleichungen ==

	Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.		Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.

Tek: Fixed untranslated tab link (from english to german title)

2009-08-14T08:55:22Z

Fixed untranslated tab link (from english to german title)

← Nächstältere Version		Version vom 08:55, 14. Aug. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
-	{{Gewählter Tab\|[[4.4 ~~Trigonometric equations~~\|Theorie]]}}	+	{{Gewählter Tab\|[[4.4 Trigonometrische Gleichungen\|Theorie]]}}
	{{Nicht gewählter Tab\|[[4.4 Übungen\|Übungen]]}}		{{Nicht gewählter Tab\|[[4.4 Übungen\|Übungen]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|

Moni: Rechtschreibung

2009-08-07T22:07:26Z

Rechtschreibung

← Nächstältere Version		Version vom 22:07, 7. Aug. 2009
Zeile 30:		Zeile 30:
	''' Beispiel 1'''		''' Beispiel 1'''

-	~~Lös~~ die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.

	Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.		Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.

Bayerer um 15:36, 29. Jul. 2009

2009-07-29T15:36:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:36, 29. Jul. 2009
Zeile 205:		Zeile 205:
	'''Nützliche Websites'''		'''Nützliche Websites'''

-	[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html ~~Experiment with the graph~~ y = a sin b (x-c) ]	+	[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c) ]

	</div>		</div>

Bayerer um 14:41, 28. Jul. 2009

2009-07-28T14:41:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:41, 28. Jul. 2009
Zeile 16:		Zeile 16:
	'''Lernziele: '''		'''Lernziele: '''

-	Nach diesem Abschnitt ~~sollten Sie~~ folgendes können:	+	Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
	* Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.		* Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
	* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.		* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.
Zeile 30:		Zeile 30:
	''' Beispiel 1'''		''' Beispiel 1'''

-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.	+	Lös die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.

	Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.		Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.
Zeile 55:		Zeile 55:
	''' Beispiel 2'''		''' Beispiel 2'''

-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.

	Wir betrachten den Einheitskreis.		Wir betrachten den Einheitskreis.
Zeile 71:		Zeile 71:
	''' Beispiel 3'''		''' Beispiel 3'''

-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.

	Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.		Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.
Zeile 96:		Zeile 96:
	''' Beispiel 4'''		''' Beispiel 4'''

-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.


Zeile 120:		Zeile 120:
	''' Beispiel 5'''		''' Beispiel 5'''

-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.


Zeile 143:		Zeile 143:
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	''' Beispiel 6'''		''' Beispiel 6'''
-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.


Zeile 163:		Zeile 163:
	''' Beispiel 7'''		''' Beispiel 7'''

-	~~Lösen Sie~~ die Gleichung <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.	+	Löse die Gleichung <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.

	Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen <math>\sin^2\!x</math> mit <math>1 – \cos^2\!x</math>. So erhalten wir		Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen <math>\sin^2\!x</math> mit <math>1 – \cos^2\!x</math>. So erhalten wir
Zeile 194:		Zeile 194:
	'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''		'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''

-	Nachdem ~~Sie~~ mit der Theorie fertig ~~sind sollten Sie~~ die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. ~~Sie finden~~ die Links zu den Prüfungen in ~~Ihrer~~ "Student Lounge".	+	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


-	'''~~Bedenken Sie~~ folgendes'''	+	'''Bedenke folgendes'''

-	~~Lernen Sie~~ die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.	+	Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.

	Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.		Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.

Markus.bez: Sprache und Formulierung

2009-06-19T13:57:21Z

Sprache und Formulierung

← Nächstältere Version		Version vom 13:57, 19. Jun. 2009
Zeile 23:		Zeile 23:
	== Grundlegende Gleichungen ==		== Grundlegende Gleichungen ==

-	Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein, und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.	+	Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.

-	Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. ~~Wen~~ man aber den Winkel ''x'' irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, ~~sowie~~ wenn man zum Beispiel einen ~~scharfen~~ Winkel sucht.	+	Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel ''x'' irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 32:		Zeile 32:
	Lösen Sie die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.		Lösen Sie die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.

-	Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche ~~winkel~~ <math>x</math> gibt.	+	Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.

	<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/6 und 5π/6,}}</center>		<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/6 und 5π/6,}}</center>

-	Wir haben hier also die beiden ~~Winkeln~~ <math>30^\circ = \pi / 6</math> und durch Symmetrie, <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math>, die ~~den~~ ''y''-Wert <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> entsprechen. Zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math> sind dies auch die einzigen solchen ~~Winkeln~~.	+	Wir haben hier also die beiden Winkel <math>30^\circ = \pi / 6</math> und (durch Symmetrie) <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math>, die dem ''y''-Wert <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> entsprechen. Zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math> sind dies auch die einzigen solchen Winkel.

-	Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von <math>2\pi</math> addieren können ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen,	+	Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von <math>2\pi</math> addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{cases}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{cases}
Zeile 44:		Zeile 44:
	x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi		x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
	\end{cases}</math>}}		\end{cases}</math>}}
-	wo <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.	+	wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

	Betrachtet man den Graph von <math>y = \sin x</math>, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven <math>y = \sin x</math> und <math>y=\tfrac{1}{2}</math> unendlich viele Schnittstellen haben.		Betrachtet man den Graph von <math>y = \sin x</math>, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven <math>y = \sin x</math> und <math>y=\tfrac{1}{2}</math> unendlich viele Schnittstellen haben.
Zeile 61:		Zeile 61:
	<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und -π/3,}}</center>		<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und -π/3,}}</center>

-	Wir wissen, dass der Kosinus ~~für~~ <math>\pi/3</math>, <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel <math>-\pi/3</math> auch den Kosinus <math>\tfrac{1}{2}</math> hat. Addieren wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu diesen Winkeln, erhalten wir die ~~Allgemeine~~ Lösung,	+	Wir wissen, dass der Kosinus von <math>\pi/3</math> <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel <math>-\pi/3</math> auch den Kosinus <math>\tfrac{1}{2}</math> hat. Addieren wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}

-	wo <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.	+	wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
	</div>		</div>

Zeile 75:		Zeile 75:
	Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.		Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.

-	Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher ~~denselben~~ Tangens.	+	Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.

	<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und π+π/3,}}</center>		<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und π+π/3,}}</center>

-	Daher erhalten wir die allgemeine Lösung indem wir <math>\pi</math> mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher	+	Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir <math>\pi</math> mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}

-	wo <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.	+	wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
	</div>		</div>

Zeile 111:		Zeile 111:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}

-	Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn <math>\cos x = 1</math>. Diese Gleichung lösen wir wie ~~vorher,~~ und die allgemeine Lösung ist	+	Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn <math>\cos x = 1</math>. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
Zeile 123:		Zeile 123:


-	Durch ~~das Gesetz~~ des Pythagoras erhalten wir <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math>, und wir bekommen	+	Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math> und wir bekommen

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}

-	Wir ~~holen~~ den Faktor <math>\sin x</math> ~~heraus~~ und erhalten	+	Wir klammern den Faktor <math>\sin x</math> aus und erhalten
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
	\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}		\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}

-	So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung, die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie im Beispiel 1. Die Lösungen sind	+	So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
	\begin{cases}		\begin{cases}
Zeile 146:		Zeile 146:


-	Durch die Doppelwinkelfunktion für Kosinus erhalten wir	+	Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}

-	Dividieren wir durch 2 und ~~holen~~ den Faktor <math>\cos x</math> ~~heraus~~, erhalten wir	+	Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor <math>\cos x</math> aus, erhalten wir
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}

-	Also müssen die Lösungen dieser Gleichung ~~einer~~ der Gleichungen	+	Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen
-	* <math>\cos x = 0</math>,	+	* <math>\cos x = 0\,\text{ oder}</math>
-	* <math>\sin x = 2</math>.	+	* <math>\sin x = 2</math>

	erfüllen. Nachdem <math>\sin x</math> nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen		erfüllen. Nachdem <math>\sin x</math> nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen

← Nächstältere Version		Version vom 08:55, 14. Aug. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
-	{{Gewählter Tab\|[[4.4 ~~Trigonometric equations~~\|Theorie]]}}	+	{{Gewählter Tab\|[[4.4 Trigonometrische Gleichungen\|Theorie]]}}
	{{Nicht gewählter Tab\|[[4.4 Übungen\|Übungen]]}}		{{Nicht gewählter Tab\|[[4.4 Übungen\|Übungen]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|