4.3 Trigonometrische Eigenschaften - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:33, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:33:19Z

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Zeile 21:		Zeile 21:
	* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.		* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Einführung ==		== A - Einführung ==

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

2009-09-02T07:19:40Z

Added skype and exercise links at the bottom of the page

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Zeile 185:		Zeile 185:
	\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}		\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>
		+	<br><br>

		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.3 Übungen\|Übungen]]''' .

-	[[4.3 Übungen\|Übungen]]

	<div class="inforuta" style="width:580px;">		<div class="inforuta" style="width:580px;">

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

2009-08-28T15:01:26Z

Robot: Automated text replacement (-Nachdem Du mit der Theorie +Nachdem du mit der Theorie und den Übungen)

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Zeile 194:		Zeile 194:
	'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''		'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''

-	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".	+	Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Tek: Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

2009-08-19T10:31:10Z

Remove leading spaces in the wiki text for displayed formulas to avoid empty boxes after the formula in IE

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Zeile 45:		Zeile 45:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\begin{align*}	+	\begin{align*}
-	\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\	+	\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-	\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\	+	\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-	\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\	+	\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-	\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\	+	\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-	\end{align*}	+	\end{align*}
-	\qquad\quad	+	\qquad\quad
-	\begin{align*}	+	\begin{align*}
-	\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\	+	\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
-	\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\	+	\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
-	\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\	+	\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
-	\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\	+	\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
-	\end{align*}	+	\end{align*}
	</math>}}		</math>}}
	</div>		</div>
Zeile 75:		Zeile 75:
	Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''x''-Koordinate aus, während die ''y''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.		Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''x''-Koordinate aus, während die ''y''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\	+	\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
-	\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\	+	\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	\| width=5% valign=top \|		\| width=5% valign=top \|

Zeile 95:		Zeile 95:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\	+	\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
-	\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\	+	\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	\| width=5% valign=top \|		\| width=5% valign=top \|

Zeile 116:		Zeile 116:

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\	+	\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-	\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\	+	\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	\| width=5% valign=top \|		\| width=5% valign=top \|

Zeile 135:		Zeile 135:
	Durch die Drehung wird die Koordinate <math>(x,y)</math> zu <math>(-y,x)</math>.		Durch die Drehung wird die Koordinate <math>(x,y)</math> zu <math>(-y,x)</math>.
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\	+	\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
-	\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}	+	\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	\| width=10% valign=top \|		\| width=10% valign=top \|

Zeile 149:		Zeile 149:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\	+	\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-	\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\	+	\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-	\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\	+	\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-	\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\	+	\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 160:		Zeile 160:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align*}
-	\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\	+	\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
-	\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\	+	\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
-	\end{align*}</math>}}	+	\end{align*}</math>}}
	</div>		</div>

	Indem man in diese Formel <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhält man für <math>\cos 2v</math>		Indem man in diese Formel <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhält man für <math>\cos 2v</math>
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}	+	\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}

	Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los		Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}	+	\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
-	= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}	+	= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
	also		also
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}	+	\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 183:		Zeile 183:
	<div class="regel">		<div class="regel">
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>
-	\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}	+	\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

Bayerer um 15:04, 14. Aug. 2009

2009-08-14T15:04:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:04, 14. Aug. 2009
Zeile 22:		Zeile 22:
	}}		}}

-	== Einführung ==	+	== A - Einführung ==
	Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.		Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

-	== Der trigonometrische Pythagoras ==	+	== B - Der trigonometrische Pythagoras ==

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
Zeile 39:		Zeile 39:


-	== Symmetrien ==	+	== C - Symmetrien ==

	Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.		Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
Zeile 143:		Zeile 143:


-	== Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==	+	== D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==

	Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme		Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

Tek: Fixed untranslated tab link (from english to german title)

2009-08-14T08:54:09Z

Fixed untranslated tab link (from english to german title)

← Nächstältere Version		Version vom 08:54, 14. Aug. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
-	{{Gewählter Tab\|[[4.3 ~~Trigonometric relations~~\|Theorie]]}}	+	{{Gewählter Tab\|[[4.3 Trigonometrische Eigenschaften\|Theorie]]}}
	{{Nicht gewählter Tab\|[[4.3 Übungen\|Übungen]]}}		{{Nicht gewählter Tab\|[[4.3 Übungen\|Übungen]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|

Moni um 10:55, 7. Aug. 2009

2009-08-07T10:55:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:55, 7. Aug. 2009
Zeile 64:		Zeile 64:


-	'''Spiegelung in der ''x''-Achse'''	+	'''Spiegelung an der ''x''-Achse'''
	{\|		{\|
	\|-		\|-
Zeile 83:		Zeile 83:


-	'''Spiegelung in der ''y''-Achse'''	+	'''Spiegelung an der ''y''-Achse'''
	{\|		{\|
	\|-		\|-
Zeile 103:		Zeile 103:


-	''' Spiegelung in der Geraden ''y = x'' '''	+	''' Spiegelung an der Geraden ''y = x'' '''
	{\|		{\|
	\|-		\|-
Zeile 110:		Zeile 110:
	\| width=45% valign=top \|		\| width=45% valign=top \|
	<br>		<br>
-	Durch eine Spiegelung in der Geraden wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).	+	Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).

Bayerer um 15:34, 29. Jul. 2009

2009-07-29T15:34:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:34, 29. Jul. 2009
Zeile 203:		Zeile 203:
	'''Nützliche Websites'''		'''Nützliche Websites'''

-	[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html ~~Experiment with the cosine “box”~~ ]	+	[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.) ]

	</div>		</div>

Bayerer um 14:39, 28. Jul. 2009

2009-07-28T14:39:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:39, 28. Jul. 2009
Zeile 17:		Zeile 17:
	'''Lernziele:'''		'''Lernziele:'''

-	Nach diesem Abschnitt ~~sollten Sie~~ folgendes können:	+	Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
	* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.		* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
	* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.		* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Bayerer um 14:39, 28. Jul. 2009

2009-07-28T14:39:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:39, 28. Jul. 2009
Zeile 145:		Zeile 145:
	== Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==		== Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==

-	Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und ~~Kosinus~~ lauten die Additionstheoreme	+	Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

	<div class="regel">		<div class="regel">
Zeile 194:		Zeile 194:
	'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''		'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''

-	Nachdem ~~Sie~~ mit der Theorie fertig ~~sind~~, ~~sollten Sie~~ die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. ~~Sie finden~~ die Links zu den Prüfungen in ~~Ihrer~~ "Student Lounge".	+	Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


-	'''Bedenken ~~Sie~~ folgendes:'''	+	'''Bedenken folgendes:'''

	Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.		Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.

← Nächstältere Version		Version vom 08:54, 14. Aug. 2009
Zeile 2:		Zeile 2:
	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"		{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
-	{{Gewählter Tab\|[[4.3 ~~Trigonometric relations~~\|Theorie]]}}	+	{{Gewählter Tab\|[[4.3 Trigonometrische Eigenschaften\|Theorie]]}}
	{{Nicht gewählter Tab\|[[4.3 Übungen\|Übungen]]}}		{{Nicht gewählter Tab\|[[4.3 Übungen\|Übungen]]}}
	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|		\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|