Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[2.1 Algebraische Ausdrücke|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[2.1 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt:''' * Das Distributivgesetz * Binomische Formeln * Differenz von zwei Quadraten * Rationale Ausdrücke }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können: * Algebraische Ausdrücke vereinfachen. * Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln faktorisieren. * Algebraische Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln erweitern. }} == A - Das Distributivgesetz == Das Distributivgesetz ist die Regel für die Multiplikation von Klammern mit einem Faktor. <center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz}}</center> <div class="exempel"> ''' Beispiel 1''' <ol type="a"> <li><math>4(x+y) = 4x + 4y</math></li> <li><math>2(a-b) = 2a -2b</math></li> <li><math>x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}</math></li> <li><math>a(x+y+z) = ax + ay + az</math></li> </ol> </div> Das Distributivgesetz erklärt auch, wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll: Ein Minuszeichen vor einer Klammer entspricht dem Wechsel des Vorzeichens von allen Zahlen in der Klammer. Siehe dazu Beispiel 2a. und 2b. <div class="exempel"> ''' Beispiel 2''' <ol type="a"> <li><math>-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y</math></li> <li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x</math><br/> Wobei wir im letzten Schritt <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}</math> verwendet haben</li> <li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/> <math>\phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3</math></li> <li><math>x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2</math><br/> <math>\phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2</math></li> </ol> </div> Das Distributivgesetz kann auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) ausklammern. <div class="exempel"> ''' Beispiel 3''' <ol type="a"> <li><math>3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)</math></li> <li><math>xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)</math></li> <li><math>2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)</math></li> <li><math>\frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1</math></li> </ol> </div> == B - Die binomischen Formeln == Das Distributivgesetz kann angewendet werden, um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten {{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}} und <math>(a+b)</math> als einen Faktor betrachten, der mit der Klammer <math>(c+d)</math> multipliziert wird, bekommen wir {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}} Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal und multiplizieren <math>c</math> und <math>d</math> mit ihren jeweiligen Klammern. {{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}} Um sich an die Formel zu erinnern, kann man wie folgt denken: <center>{{:2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal}}</center> <div class="exempel"> ''' Beispiel 4''' <ol type="a"> <li><math>(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2</math><br/> <math>\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2</math></li> <li><math>3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)</math><br/> <math>\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y</math></li> <li><math>(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2</math><br/> <math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math> wobei wir folgende Rechnung benutzt haben <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>. </ol> </div> Es gibt zwei wichtige Sonderfälle von dieser Regel, nämlich wenn <math>a+b</math> und <math>c+d</math> gleich sind. <div class="regel"> '''Binomische Formeln''' {{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}} </div> Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt. <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' <ol type="a"> <li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li> <li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br> : wobei <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}</math></li> <li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16</math></li> <li><math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)</math><br/> <math>\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1</math><br/> <math>\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x</math></li> <li><math>(2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)</math><br/> <math>\phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8</math></li> <li><math>(x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)</math><br/> <math>\phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4</math><br/> <math>\phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8</math></li> </ol> </div> Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden, um einen Summe in ein Produkt zu verwandeln. Weil die Bestandteile eines Produktes Faktoren heissen, sagt man dazu auch: einen Ausdruck faktorisieren. <div class="exempel"> ''' Beispiel 6''' <ol type="a"> <li><math>x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2</math></li> <li><math>x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2</math></li> <li><math>x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2</math></li> </ol> </div> == C - Differenz von zwei Quadraten == Es gibt auch eine dritte binomische Formel, diese lautet: <div class="regel"> '''Die Differenz von zwei Quadraten:''' {{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}} </div> Diese Formel kann hergeleitet werden, indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet. {{Abgesetzte Formel||<math>(a+b)(a-b) = a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}</math>}} <div class="exempel"> ''' Beispiel 7''' <ol type="a"> <li><math>(x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2</math></li> <li><math>(x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2</math></li> <li><math>(y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2</math></li> <li><math>x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)</math><br/> <math>\phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)</math></li> </ol> </div> == D - Rationale Ausdrücke == Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind Rechnungen mit Brüchen sehr ähnlich. Alle Rechenregeln, die für Brüche gelten, gelten auch für rationale Ausdrücke. <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{und} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 8''' <ol type="a"> <li><math>\frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}</math></li> <li><math>\frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}</math></li> <li><math>\frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}</math></li> </ol> </div> Man kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils demselben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie bei Brüchen Erweitern. {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots</math>}} Dies gilt auch umgekehrt, nämlich, dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdrucks jeweils durch denselben Ausdruck dividiert. Dies wird wie bei Brüchen auch kürzen genannt. {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) } = \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}} <div class="exempel"> ''' Beispiel 9''' <ol type="a"> <li><math>\frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}</math></li> <li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li> <li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Binomische Formel}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}</math></li> </ol> </div> Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}} Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche finden. Der kleinste gemeinsame Nenner von zwei Br&uuml;chen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner der Br&uuml;che. <div class="exempel"> ''' Beispiel 10''' <ol type="a"> <li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> Das kleinste gemeinsame Vielfache von <math>x+1</math> und <math> x+2</math> ist <math> (x+1)(x+2) </math>. Darum ist <math> (x+1)(x+2)</math> der kleinste gemeinsame Nenner von <math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math>. <br><br> Wir erweitern den ersten Bruch mit <math>(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)</math> {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}</math>}}</li> <li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2</math><br><br> Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen. {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}</math>}}</li> <li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br> Wie erweitern den ersten Bruch mit <math>x(x+2)</math> und den zweiten Bruch mit <math>(x+1)^2</math> {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}</li> <li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> hat den kleinsten gemeinsamen Nenner <math> x(x-1)(x+1)</math><br><br> Wir müssen alle Brüche erweitern, sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben <math>x(x-1)(x+1)</math> {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.} \end{align*}</math>}}</li> </ol> </div> Um große Ausdrücke zu vereinfachen, kürzt man häufig die Brüche. Um Brüche kürzen zu können, müssen sie in ihre Faktoren zerlegt werden, sodass man die Faktoren erkennt. Deshalb sollten die Ausdrücke immer faktorisiert bleiben, solange man nicht mit den Rechnungen fertig ist. <div class="exempel"> ''' Beispiel 11''' <ol type="a"> <li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\,\mbox{Kleinste gemeinsamer Nenner} = (x+2)(x-2)\,\right\}</math><br/><br/> <math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/> <math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}</math></li> <li><math>\frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}</math></li> <li><math>\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}</math> <br><br> <math>\phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}</math></li> </ol> </div> [[2.1 Übungen|Übungen]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Tipps fürs Lernen''' '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". '''Bedenke folgendes: ''' Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören. Rechne lieber in mehreren Schritten als in einem Schritt, falls Du Dich unsicher fühlst. Das Erweitern von Ausdrücken ist oft unnötig, da Du den Ausdruck später vielleicht kürzen musst. '''Reviews''' [http://de.wikipedia.org/wiki/Algebra Mehr über Algebra in der Wikipedia ] [http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - ein englischer Text im Web ] </div>

• 2.1 - Bild - Das Distributivgesetz
• 2.1 - Bild - Das Distributivgesetz zweimal
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