Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[2.3 Quadratische Gleichungen|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[2.3 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt:''' *Quadratische Ergänzung *Quadratische Funktionen * Faktorisierung * Parabeln }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können: * Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen. * Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen, und die Lösungen kontrollieren. *Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren. * Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen. * Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden. * Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung. }} == Quadratische Gleichungen == Eine quadratische Gleichung kann wie {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}} geschrieben werden, wo <math>x</math> unbekannt ist, und <math>p</math> und <math>q</math> Konstanten sind. Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man einfach Wurzeln berechnet. <div class="regel"> Die Gleichung <math>x^2=a</math> wo <math>a > 0</math>, hat zwei Lösungen (Wurzeln), nämlich <math>x=\sqrt{a}</math> und <math>x=-\sqrt{a}</math>. </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 1''' <ol type="a"> <li><math>x^2 = 4 \quad</math> hat die Wurzeln <math>x=\sqrt{4} = 2</math> und <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li> <li><math>2x^2=18 \quad</math> kann wie <math>x^2=9</math> geschrieben werden, hat also die Wurzeln <math>x=\sqrt9 = 3</math> und <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li> <li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann wie <math>x^2=5</math> geschrieben werden, hat also die Wurzeln <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236</math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li> <li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine Wurzeln, nachdem die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 is, weil <math>x^2</math> immer größer als 0 ist. </ol> </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 2''' <ol type="a"> <li>Löse die Gleichung <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br> Indem wir zuerst <math>x-1</math> betrachten, sehen wir, dass *<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> also <math>x=1+4=5</math>, *<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> also <math>x=1-4=-3</math>. </li> <li> Lösen Sie die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br> Wir addieren <math>8</math> auf beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach durch <math>2</math>, {{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}} Die Wurzeln sind *<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math> *<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li> </ol> </div> Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, muss man das Prinzip der quadratischen Ergänzung benutzen. Die binomische Formel lautet {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.</math>}} Subtrahieren wir <math>a^2</math> von beiden Seiten, bekommen wir <div class="regel"> '''Quadratische Ergänzung:''' {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 3''' <ol type="a"> <li> Löse die Gleichung <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br> Wir benutzen die quadratische Ergänzung: <math>x^2+2x</math> (hier ist also <math>a=1</math>) {{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}} wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie {{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}} geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln *<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math>, also <math>x=-1+3=2</math>, *<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math>, also <math>x=-1-3=-4</math>.</li> <li> Löse die Gleichung <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br> Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2 {{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}} Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>) {{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.</math>}} Dies ergibt die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}} mit den Wurzeln *<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math>, also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>, *<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math>, also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li> </ol> </div> <div class="tips"> '''Hinweis: ''' Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu kontrollieren: * <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>. * <math>x = -4</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>. In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig. </div> Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}} hat die Lösungen {{Abgesetzte Formel||<math>x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,</math>}} solange die Ausdrücke in der Wurzel nicht negativ sind. In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten. <div class="exempel"> ''' Beispiel 4''' <ol type="a"> <li>Löse die Gleichung <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br> Wir können die linke Seite faktorisieren, nachdem der Faktor <math>x</math> in allen Termen auftritt :<math>x(x-4)=0</math>. Die linke Seite der Gleichung ist null nur dann, wenn einer ihrer Faktoren null ist. *<math>x =0,\quad</math> oder *<math>x-4=0\quad</math>. Dies ergibt die Lösungen <math>\quad x=4</math>.</li> </ol> </div> == Quadratische Funktionen == Die Funktionen {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}} sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist {{Abgesetzte Formel||<math>y=ax^2+bx+c\,,</math>}} wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind, und <math>a\ne0</math>. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Figuren zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>. <center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center> <center><small>Die linke Figur zeigt die Parabel <math>y=x^2</math> und die rechte Figur zeigt die Parabel <math>y=-x^2</math>.</small></center> Nachdem der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math>, und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>. Die beiden Parabeln oben sind auch symmetrisch um die <math>y</math>-Achse, nachdem der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist. <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' {| width="100%" ||<ol type="a"> <li>Zeichne die Parabel <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br> Im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math> hat diese Parabel(<math>y=x^2-2</math>) einen <math>y</math>-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel <math>y=x^2</math> einfach zwei Einheiten herunter.</li> </ol> |align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 2}} |} {| width="100%" ||<ol type="a" start=2> <li> Zeichne die Parabel <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br> Für die Parabel <math>y=(x-2)^2</math> müssen wir den <math>x</math>-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel <math>y=x^2</math>, um denselben <math>y</math>-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel <math>y=(x-2)^2</math>, die Parabel <math>y=x^2</math> zwei Einheiten nach rechts verschoben.</li> </ol> |align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²}} |} {| width="100%" ||<ol type="a" start=3> <li> Zeichne die Parabel <math>\ y=2x^2</math>. <br><br> Jeder Punkt auf der Parabel <math>y=2x^2</math> hat für denselben <math>x</math>-Wert einen zwei Mal so großen <math>y</math>-Wert als die Parabel <math>y=x^2</math>. Also müssen wir die Parabel <math>y=x^2</math> um einen Faktor <math>2</math> in der <math>y</math>-Richtung vergrößern, um die Parabel <math>y=2x^2</math> zu bekommen. </ol> |align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²}} |} </div> Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet. <div class="exempel"> '''Beispiel 6''' {| width="100%" ||Zeichne die Parabel <math>\ y=x^2+2x+2</math>. Wenn wir die linke Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}} und sehen, dass die Parabel <math>y= (x+1)^2+1</math> um eine Einheit nach links, und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math>. ||{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2}} |} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 7''' Bestimme den Schnittpunkt der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> mit der <math>x</math>-Achse. Alle Punkte auf der <math>x</math>-Achse haben den <math>y</math>-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der <math>x</math>-Achse liegen, haben also die <math>y</math>-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}} quadratische Ergänzung gibt {{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}} und schließlich {{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}} Wir erhalten die Wurzeln *<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math>, also <math>\quad x=2+1=3</math>, *<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math>, also <math>\quad x=2-1=1</math>. Die Schnittpunkte der <math>x</math>-Achse mit der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> sind <math>(1,0)</math> und <math>(3,0)</math>. <center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3}}</center> </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 8''' Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes <math>\,x^2+8x+19\,</math>. Wir verwenden die quadratische Ergänzung {{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}} und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate <math>(x+4)^2</math> immer größer oder gleich 0 ist. In der Figur unten sehen wir, dass die Parabel <math>y=x^2+8x+19</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse liegt, und den kleinsten Wert 3 hat, wenn <math>x=-4</math>. <center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center> </div> [[2.3 Übungen|Übungen]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Tipps fürs Lernen''' '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". '''Bedenken Sie folgendes: ''' Nimm dir viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor. '''Literaturhinweise''' Für die, die tiefer in die Materie Eindringen wollen, sind hier einige Links ang eführt: [http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia ] [http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html Mehr über quadratische Gleichungen auf mathworld (engl.)] [http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation - von Chris Budd und Chris Sangwin (engl.)] </div>

• 2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²
• 2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²
• 2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2
• 2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19
• 2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 2
• 2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3
• 2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²
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