Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> definiert das Gebiet unter der Parabel <math>y=1-x^{2}</math>. Die andere Ungleichung <math>x\ge 2y-3</math> können wir wie <math>y\le x/2+3/2</math> schreiben, und daher definiert sie das Gebiet unter der Gerade <math>y=x/2+3/2</math>. {| align="center" |align="center"|[[Image:2_3_10_b1-1.gif|center]] |width="10px"|&nbsp; |align="center"|[[Image:2_3_10_b1-2.gif|center]] |- |align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''²</small> || |align="center"|<small>Das Gebiet x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small> |} Es scheint so zu sein, als läge die Gerade ganz oberhalb der Parabel. Dies würde bedeuten, dass die Ungleichung <math>y\le 1-x^{2}</math> auch die Ungleichung <math>y\le x/2+3/2</math> erfüllt. {| align="center" |align="center"|[[Image:2_3_10_b2.gif|center]] |- |align="center"|<small>Das Gebiet y&nbsp;≤&nbsp;1&nbsp;-&nbsp;''x''² und x&nbsp;≥&nbsp;2''y''&nbsp;-&nbsp;3</small> |} Wir kontrollieren, ob dies auch der Fall ist, nämlich ob der ''y''-Wert der Gerade immer größer als der ''y''-Wert der Parabel für denselben ''x''-Wert ist. Wir betrachten den Unterschied {{Abgesetzte Formel|| <math>y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\,\textrm{.}</math>}} Durch ein wenig Vereinfachungen erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} y_{\scriptstyle\text{Gerade}} - y_{\scriptstyle\text{Parabel}} &= \frac{x}{2} + \frac{3}{2} - (1-x^{2})\\[5pt] &= x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(x+\frac{1}{4}\Bigr)^{2} + \frac{7}{16} \end{align}</math>}} Wir sehen hier, dass der Ausdruck immer positiv ist, nachdem <math>\tfrac{7}{16}</math> positiv ist, und <math>\bigl(x+\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}</math> immer größer als oder gleich null ist. Also liegt die Parabel ganz unterhalb der Gerade.

• 2.3.10b - Solution - The region x ≤ 2y - 3
• 2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x²
• 2.3.10b - Solution - The region y ≤ 1 - x² and x ≤ 2y - 3
• Vorlage:Abgesetzte Formel

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