Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[2.2 Lineare Gleichungen|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[2.2 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt:''' * Lineare Gleichungen * Gleichung einer Geraden * Geometrische Probleme * Gebiete definiert durch lineare Gleichungen }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können: *Algebraische Gleichungen, die nach Vereinfachungen lineare Gleichungen ergeben, lösen. *Gleichungen zwischen den Formen ''y'' &#061; ''kx'' + ''m'' und ''ax'' + ''by'' + ''c'' &#061; 0. umwandeln. *Geraden, die durch eine lineare Gleichung definiert sind, zeichnen. * Geometrische Probleme mit linearen Gleichungen lösen. * Gebiete, die durch lineare Gleichungen definiert sind, zeichnen und die Fläche dieser Gebiete berechnen. }} == Lineare Gleichungen == Um lineare Gleichungen zu lösen, führen wir systematisch arithmetische Operationen auf beiden Seiten der Gleichung aus. <div class="exempel"> ''' Beispiel 1''' <ol type="a"> <li>Lösen Sie die Gleichung <math>x+3=7</math>.<br/><br/> Wir subtrahieren <math>3</math> von beiden Seiten :<math>x+3-3=7-3</math>. Die linke Seite ist danach <math>x</math>, und also ist unsere Gleichung gelöst: :<math>x=7-3=4</math>.</li> <li>Lösen Sie die Gleichung <math>3x=6</math>. <br/><br/> Wier dividieren beide Seiten mit <math>3</math> :<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>. Nachdem wir <math>3</math> auf der linken Seite gekürzt haben, bekommen wir die Lösung: :<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li> <li> Lösen Sie die Gleichung <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/> Zuerst subtrahieren wir <math>1</math> von beiden Seiten, sodass <math>2x</math> alleine links steht :<math>2x=5-1</math>.<br/> Jetzt dividieren wir beide Seiten durch <math>2</math>, und bekommen die Lösung: :<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li> </ol> </div> Eine lineare Gleichung kann immer in die Normalform <math>ax=b</math> gebracht werden. Die Lösung bekommen wir einfach mit Division durch ''a'', <math>x=b/a</math> (nur wenn <math>a\not=0</math>). Die Schwierigkeit in der Lösung von linearen Gleichungen liegt also nicht in der direkten Lösung, sondern in den Vereinfachungen, die notwendig sind, um die Gleichung in die Standardform zu bringen. Hier zeigen wir einige Beispiele von linearen Gleichungen, die alle in die Standardform gebracht werden, wobei wir die Lösung einfach erhalten. <div class="exempel"> '''Beispiel 2''' Lösen Sie die Gleichung <math>\,2x-3=5x+7</math>. Nachdem <math>x</math> links und rechts erscheint, subtrahieren wir von beiden Seiten der Gleichung <math>2x</math> {{Abgesetzte Formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}} und jetzt kommt <math>x</math> nur in der rechten Seite vor {{Abgesetzte Formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}} Jetzt subtrahieren wir 7 von beiden Seiten der Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}} und erhalten <math>3x</math> nur auf der rechten Seite der Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}} Im letzten Schritt dividieren wir beide Seiten durch <math>3</math> {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}} und erhalten die Lösung {{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Beispiel 3''' Lösen Sie (für <math>x</math>) die Gleichung <math>ax+7=3x-b</math>. Indem wir <math>3x</math> von beiden Seiten subtrahieren {{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}} und danach <math>7</math> von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir {{Abgesetzte Formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}} Jetzt sind alle Terme, die <math>x</math> enthalten auf der linken Seite der Gleichung, und alle anderen Terme auf der rechten Seite. Auf der linken Seite können wir den Faktor <math>x</math> herausheben {{Abgesetzte Formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}} Wenn wir beide Seiten mit <math>a-3</math> dividieren, erhalten wir die Lösung {{Abgesetzte Formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}} </div> Man sieht nicht immer deutlich, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. In den folgenden Beispielen sehen wir, dass Vereinfachungen eine komplizierte Gleichung in eine lineare Gleichung umwandeln können. <div class="exempel"> ''' Beispiel 4''' Lösen Sie die Gleichung <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>. Wir erweitern die quadratischen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung. {{Abgesetzte Formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}} Hier subtrahieren wir <math>4x^2</math> von beiden Seiten {{Abgesetzte Formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}} und addieren <math>6x</math> zu beiden Seiten {{Abgesetzte Formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}} und subtrahieren <math>49</math> von beiden Seiten {{Abgesetzte Formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}} und schließlich dividieren wir beide Seiten durch <math>34</math> {{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' Lösen Sie die Gleichung <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>. Wir sammeln beide Terme auf der linken Seite der Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}</math>}} und schreiben die Brüche mit gemeinsamen Nennern {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0</math>}} und vereinfachen den Zähler {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}} Diese Gleichung ist nur gültig, wenn der Zähler null ist (und der Nenner nicht gleichzeitig null ist). {{Abgesetzte Formel||<math>5x+4=0</math>}} und wir haben <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>. </div> == Gerade Linien == Gleichungen wie {{Abgesetzte Formel||<math>y = 2x+1</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>y = -x+3</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>y = \frac{1}{2} x -5 </math>}} sind Beispiele von linearen Gleichungen, die man wie <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>y = kx+m</math>}} </div> schreiben kann, wo <math>k</math> und <math>m</math> Konstanten sind. Der Funktionsgraph einer linearen Gleichung ist immer eine gerade Linie (auch Gerade genannt). Die Konstante <math>k</math> bestimmt, wie steil die Gerade im Verhältnis zur <math>x</math>-Achse ist, und die Konstante <math>m</math> ist der Schnittpunkt von der Gerade mit der <math>y</math>-Achse. <center>{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m}}</center> <center><small>Die Gerade ''y'' = ''kx'' + ''m'' hat die Steigung ''k'' und kreuzt die ''y''-Achse im Punkt (0,''m'')</small></center> Die Konstante <math>k</math> wird die Steigung genannt, und bedeutet, dass eine Veränderung um eine Einheit in der positiven <math>x</math>-Richtung entlang der Geraden, eine Veränderung um <math>k</math> Einheiten in der positiven <math>y</math>-Richtung ergibt. Also ist die Steigung: *Aufwärts wenn <math>k>0</math>. *Abwärts wenn <math>k<0</math>. Eine horizontale Gerade, die parallel mit der <math>x</math>-Achse ist, hat <math>k=0</math> während eine vertikale Gerade, parallel mit der <math>y</math>-Achse kein <math>k</math> hat (Eine vertikale Linie kann nicht wie <math>y=kx+m</math> geschrieben werden). <div class="exempel"> ''' Beispiel 6''' <ol type="a"> <li> Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2x-1</math>. <br/><br/> Wenn wir die Gleichung mit der Standardform <math>y=kx+m</math> vergleichen, sehen wir, dass <math>k=2</math> und <math>m=-1</math>. Dies bedeutet, dass die Gerade die Steigung <math>2</math> hat, und die <math>y</math>-Achse im Punkt <math>(0,-1)</math> kreuzt. Sehen Sie die linke Figur.</li> <li>Zeichnen Sie die Gerade <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/> Die Gleichung kann wie <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> geschrieben werden, und wir sehen, dass die Steigung <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> ist, und dass <math>m=2</math>. Siehe rechte Figur. </ol> {| align="center" padding="20px" |align="center"|{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = 2x - 1}} |width="20px"| |align="center"|{{:2.2 - Bild - Die Gerade y = 2 - x/2}} |- |align="center"|<small>Line ''y'' = 2''x'' - 1</small> || |align="center"|<small>Line ''y'' = 2 - ''x''/2</small> |} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 7''' Was ist die Steigung der Geraden, die durch die Punkte <math>(2,1)</math> und <math>(5,3)</math> geht? Wenn wir die Punkte zeichnen, sehen wir, dass <math>5-2=3</math> Einheiten entlang der Geraden in der <math>x</math>-Richtung <math>3-1=2</math> Einheiten in der <math>y</math>-Richtung entsprechen. Also entspricht <math>1</math> Schritt in der <math>x</math>-Richtung <math>k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}</math> Schritte in der <math>y</math>-Richtung. Also ist die Steigung <math>k= \frac{2}{3}</math>. </div> Zwei Geraden die parallel sind, haben dieselbe Steigung. Man kann auch zeigen, dass für zwei Geraden, die rechtwinkelig sind und die Steigungen <math>k_1</math> und <math>k_2</math> haben, dass <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, oder anders geschrieben <math>k_1 k_2 = -1</math>. <center>{{:2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden}}</center> Die Gerade in der linken Figur hat die Steigung <math>k</math>, also entspricht <math>1</math> Einheit in die <math>x</math>-Richtung, <math>k</math> Einheiten in die <math>y</math>-Richtung. Falls die Gerade <math>90^\circ</math> im Uhrzeigersinn gedreht wird, haben wir die Figur rechts. Wir sehen, dass die Steigung jetzt <math>-\frac{1}{k}</math> ist, nachdem <math>-k</math> Einheiten in die <math>x</math>-Richtung <math>1</math> Einheit in die <math>y</math>-Richtung entsprechen. <div class="exempel"> ''' Beispiel 8''' <ol type="a"> <li> Die Geraden <math>y=3x-1</math> und <math>y=3x+5</math> sind parallel. <li> Die Geraden <math>y=x+1</math> und <math>y=2-x</math> sind rechtwinkelig. </ol> </div> Alle Geraden(auch die vertikalen) können generell wie <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>ax+by=c</math>}} </div> geschrieben werden, wo <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind. <div class="exempel"> ''' Beispiel 9''' <ol type="a"> <li>Bringen Sie die Gerade <math>y=5x+7</math> in die Form <math>ax+by=c</math>.<br/><br/> Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten:<math>-5x+y=7</math>.</li> <li> Schreiben Sie die Gerade <math>2x+3y=-1</math> auf der Form <math>y=kx+m</math>.<br/><br/> Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiden Seiten <li><math>3y=-2x-1 </math></li> und dividieren beide Seiten durch <math>3</math> {{Abgesetzte Formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}} </ol> </div> [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Here'''] you can see how an equation for a line can be obtained if we know the coordinates of two points on the line. [http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Here'''] you can vary k and m and see how this affects the line's characteristics. == Flächen in einem Koordinatensystem == Man kann durch geometrische Interpretation von Ungleichungen Gebiete in einem Koordinatensystem definieren. <div class="exempel"> ''' Beispiel 10''' <ol type="a"> <li>Zeichnen Sie das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>y\ge2</math> erfüllt. <br/><br/> Das Gebiet besteht aus allen Punkten, <math>(x,y)</math>, wo die <math>y</math>-Koordinate größer oder gleich <math>2</math> ist, also alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=2</math>.<br/> <center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2}}</center></li> <li>Zeichnen Sie das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem dass die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt. <br/><br/> Ein Punkt <math>(x,y)</math>, der die Ungleichung <math>y < x</math> erfüllt, muss eine <math>x</math>-Koordinate haben, die größer als die <math>y</math>-Koordinate ist. Also liegt das Gebiet rechts von der Geraden <math>y=x</math>.<br/> <center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet y weniger als x}}</center> Dass die Gerade <math>y=x</math> gepunktet ist, heißt, dass sie nicht zum gefärbten Gebiet gehört. </ol> </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 11''' Zeichnen Sie das Gebiet im <math>x,y</math>-Koordinatensystem, das die Ungleichung <math>2 \le 3x+2y\le 4</math> erfüllt. Die doppelte Ungleichung kann in zwei Ungleichungen aufgeteilt werden {{Abgesetzte Formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> and <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}} Wir subtrahieren den <math>x</math>-Term von beiten Seiten, und dividieren danach beide Seiden durch <math>2</math> {{Abgesetzte Formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> and <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}} Die Punkte, die die erste Ungleichung erfüllen, liegen auf oder oberhalb der Geraden <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math>, während die Punkte, welche die zweite Ungleichung erfüllen auf oder unterhalb der Geraden <math>y= 2-\tfrac{3}{2}x</math> liegen. <center>{{:2.2 - Bild - Die Gebiete 3x + 2y ≥ 2 und 3x + 2y ≤ 4}}</center> <center><small>Das linke Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\ge 2</math> und das rechte Bild zeigt das Gebiet <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center> Die Punkte, die beide Ungleichungen erfüllen liegen auch in beiden Gebieten. <center>{{:2.2 - Bild - Das Gebiet 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center> <center><small>Das Bild zeigt das Gebiet <math>2\le 3x+2y\le 4</math>.</small></center> </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 12''' Die Geraden <math>y=x</math>, <math>y=-x</math> und <math>y=2</math> begrenzen ein Dreieck. <center>{{:2.2 - Bild - Das Dreieck begrenzt von y = x, y = 2 und y = -x}}</center> Wir sehen, dass ein Punkt folgende Bedienungen erfüllen muss, um im Dreieck zu liegen: Die <math>y</math>-Koordinate muss geringer als <math>2</math> sein. Die <math>y</math>-Koordinate muss aber auch größer als <math>0</math> sein. Also muss gelten, dass <math> 0\le y\le2</math>. Wir sehen auch, dass alle Punkte oberhalb der Geraden <math>y=-x</math> und <math>y=x</math> liegen müssen. Dies entspricht, dass <math>-y\le x\le y</math>. Nachdem wir Begrenzungen für die <math>y</math>-Koordinate haben, wissen wir auch, dass <math>x</math> kleiner als <math>2</math> sein muss und größer als <math>-2</math>. Die Basis des Dreiecks ist <math>4</math>, und die Höhe ist <math>2</math>. Fie Fläche des Dreiecks ist daher <math> 4\cdot 2/2=4</math>. </div> [[2.2 Übungen|Übungen]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Tipps fürs Lernen''' '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge". '''Bedenken Sie folgendes ... ''' Zeichnen Sie immer ihre eigenen Figuren wenn Sie geometrische Probleme lösen, und zeichnen Sie genau. Mit einer guten Figur sind Sie fast fertig, während eine schlechte Figur irreführend sein kann. <!-- '''Reviews''' For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references: [http://matmin.kevius.com/linje.html Learn more about linear equations in Bruno Kevius mathematical glossary (Swedish).] --> '''Nützliche Websites''' [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experiment with Equations of a Straight Line] [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experiment with Archimedes Triangle & Squaring of Parabola.] </div>

• 2.2 - Bild - Das Dreieck begrenzt von y = x, y = 2 und y = -x
• 2.2 - Bild - Das Gebiet 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4
• 2.2 - Bild - Das Gebiet y weniger als x
• 2.2 - Bild - Das Gebiet y ≥ 2
• 2.2 - Bild - Die Gebiete 3x + 2y ≥ 2 und 3x + 2y ≤ 4
• 2.2 - Bild - Die Gerade y = 2 - x/2
• 2.2 - Bild - Die Gerade y = 2x - 1
• 2.2 - Bild - Die Gerade y = kx + m
• 2.2 - Bild - Die Steigung von rechtwinkligen Geraden
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