Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse ''c''. [[Image:4_2_9_1.gif|center]] Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen {{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}} Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten. [[Image:4_2_9_2.gif|center]] Nachdem <math>\text{AP}=4</math>, erhalten wir einfach ''x'' und ''y'': {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}</math>}} Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'', indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten. {| align="center" | align="center" |[[Image:4_2_9_3-1.gif]] | width="20px"|&nbsp; | align="center" |[[Image:4_2_9_3-2.gif]] |- | align="center" valign="top"|<math>\begin{align}a &= x+5\\ &= 2+5 = 7\end{align}</math> || | align="center" valign="top"|<math>\begin{align}b &= 12-y\\ &= 12-2\sqrt{3}\end{align}</math> |} Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-38\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align}</math>}}

• 4.2.9 - Solution - A figure with horizontal distances a, x and 5, and vertical distances 12, b and y
• 4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to B
• 4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to P
• Vorlage:Abgesetzte Formel

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