Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir zeichnen zuerst die Gebiete die durch die drei Ungleichungen entstehen. {| align="center" |align="center"|[[Image:2_2_9_c-1(5)_1.gif|center]] |align="center"|[[Image:2_2_9_c-1(5)_2.gif|center]] |- |align="center"|<small>Das Gebiet ''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;≥&nbsp;-2</small> |align="center"|<small>Das Gebiet 2''x''&nbsp;-&nbsp;''y''&nbsp;≤&nbsp;2</small> |- |align="center"|[[Image:2_2_9_c-1(5)_3.gif|center]] |- |align="center"|<small>Das Gebiet 2''y''&nbsp;-&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;2</small> |} Das Dreieck ist das Gebiet dass wo die Punkte alle dre Ungleichungen erfüllen, also das Gebiet das alle grau gefärbten Gebiete enthält. [[Image:2_2_9_c-2(5).gif|center]] Als erster Schritt müssen wir die Schnittpunkte der Geraden berechnen, die also auch die Ecken des Dreiecks sind. Die drei Ecken müssen jeweils die Drei Gleichungssysteme unten erfüllen {{Abgesetzte Formel||<math>(1)\ \left\{\begin{align} x+y&=-2,\\ 2x-y&=2,\end{align}\right.\qquad (2)\ \left\{\begin{align} x+y &= -2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.\qquad \text{and}\qquad (3)\ \left\{\begin{align} 2x-y &= 2,\\ -x+2y &= 2,\end{align}\right.</math>}} <ol> <li>Das erste Gleichungssystem lösen wir indem wir die beiden Gleichungen addieren {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" || |align="right"|<math>x</math> ||<math>{}+{}</math> |align="right"|<math>y</math> ||<math>{}={}</math> |align="right"|<math>-2</math> |- |align="left"|<math>+\ \ </math> |align="right"|<math>2x</math> ||<math>{}-{}</math> ||<math>y</math> ||<math>{}={}</math> |align="right"|<math>2</math> |- |colspan="6"|<hr> |- || |align="right"|<math>3x</math> || || ||<math>{}={}</math> |align="right"|<math>0</math> |} So erhalten wir also <math>x=0</math>, und von der Gleichung <math>x+y=-2</math> erhalten wir <math>y=-2</math>.</li> <li>Im zweiten System können wir die Gleichungen genauso addieren {| align="center" style="padding:10px 0px 10px 0px;" || |align="right"|<math>x</math> ||<math>{}+{}</math> |align="right"|<math>y</math> ||<math>{}={}</math> |align="right"|<math>-2</math> |- |align="left"|<math>+\ \ </math> |align="right"|<math>-x</math> ||<math>{}+{}</math> ||<math>2y</math> ||<math>{}={}</math> |align="right"|<math>2</math> |- |colspan="6"|<hr> |- || || || |align="right"|<math>3x</math> ||<math>{}={}</math> |align="right"|<math>0</math> |} Wir erhalten also <math>y=0</math> und <math>x=-2</math>.</li> <li>Das dritte System ist ein wenig schwieriger zu lösen. Hier müssen wir ''y'' in der zweiten Gleichung mit <math>2x-2</math> ersetzen (von der ersten Gleichung), und danach ''x'' in die erste Gleichung einsetzen. {{Abgesetzte Formel||<math>-x+(2x-2)=2\quad\Leftrightarrow\quad 3x-4=2\quad\Leftrightarrow\quad x=2\,\textrm{.}</math>}} Und also ist <math>y=2\cdot 2-2 = 2\,\textrm{.}</math></li> </ol> Die Ecken des Dreiecks sind also (0,-2), (-2,0) und (2,2). [[Image:2_2_9_c-3(5).gif|center]] Wenn wir die Fläche des Dreiecks mit der Gleichung {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}\text{(Basis)}\cdot\text{(Höhe)}</math>}} berechnen, ist das Problem die Basis und die Höhe des Dreiecks zu berechnen, nachdem keine Kante mit der ''x''- oder ''y''-Achse parallel ist. Wir können aber das Dreieck in zwei Dreiecke aufteilen, die beide eine Kante haben, die parallel mit der ''y''-Achse ist. [[Image:2_2_9_c-4(5).gif|center]] Hier entsteht ein neuer Eckpunkt, A, den wir berechnen müssen. Wir sehen dass der Punkt A die Schnittstelle zwischen der Gerade <math>2y-x=\text{2 }</math> und der ''y''-Achse ist {{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 2y-x&=2\\ x&=0\\ \end{align}\right.</math>}} Die Schnittstelle, und der Punkt A, ist also (0,1). Jetzt können wir einfach die Flächen des beiden Dreiecken berechnen {| align="center" |colspan=3 align="center"|[[Image:2_2_9_c-5(5)-1.gif]] || |colspan=3 align="center"|[[Image:2_2_9_c-5(5)-2.gif]] |- |align="right"|Basis |align="center"|&nbsp;=&nbsp; |align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3 |width="10"|&nbsp; |align="right"|Basis |align="center"|&nbsp;=&nbsp; |align="left"|1&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;3 |- |align="right"|Höhe |align="center"|&nbsp;=&nbsp; |align="left"|0&nbsp;-&nbsp;(-2)&nbsp;=&nbsp;2 |width="10"|&nbsp; |align="right"|Höhe |align="center"|&nbsp;=&nbsp; |align="left"|2&nbsp;-&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;2 |- |align="right"|Fläche |align="center"|&nbsp;=&nbsp; |align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3 || |align="right"|Fläche |align="center"|&nbsp;=&nbsp; |align="left"|½·3·2&nbsp;=&nbsp;3 |} Schließlich addieren wir die Flächen der beiden Dreiecken, um die gesamte Fläche zu erhalten: {{Abgesetzte Formel||<math>\text{Area} = 3+3=6\,\textrm{.}</math>}}

• 2.2.9c - Solution - The left-most triangles with a base and height
• 2.2.9c - Solution - The region 2x - y ≤ 2
• 2.2.9c - Solution - The region 2y - x ≤ 2
• 2.2.9c - Solution - The region x + y ≥ 2
• 2.2.9c - Solution - The right-most triangles with a base and height
• 2.2.9c - Solution - The triangle defined by x + y ≥ 2, 2x - y ≤ 2 and 2y - x ≤ 2
• 2.2.9c - Solution - The triangle with vertices in (-2,0), (0,-2) and (2,2)
• 2.2.9c - Solution - Two triangles with a common vertex in (0,A)
• Vorlage:Abgesetzte Formel

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