Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Selected tab|[[1.1 Verschiedene Zahlen|Theory]]}} {{Not selected tab|[[1.1 Exercises|Exercises]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Contents:''' * Natürliche Zahlen * Negative Zahlen * Operatorrangfolge und klammern * Rationale Zahlen * Irratiolale Zahlen (übersichtlich) * Reelle Zahlen }} {{Info| '''Lernziele''' Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können: * Die vier Grundrechnungsarten der Arithmetik beherschen. * Den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen. * Quoten als Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt. * Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu bestimmen. * Quoten und Dezimalzahlen korrekt runden. }} == Berechnungen mit Zahlen == Berechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechnungsarten der Arithmetik. Volgende Begriffe sind wichtig in der Mathematik: <center>{{:1.1 - Bild - Grundrechnungsarten der Arithmetik}}</center> Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal {{Displayed math||<math>3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}</math>}} Bei der Subtraktion im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend. {{Displayed math||<math>5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}</math>}} Mit dem Unterschied zwischen zwei Zahlen, meint man meistens die größte Zahl subtrahiert mit der kleineren Zahl. Der Unterschied zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3. Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal {{Displayed math||<math>3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}</math>}} Bei der Division im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend. {{Displayed math||<math>\frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}</math>}} == Operatorrangfolge == In den Fällen wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechnungsarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden: *Klammern (die innersten klammern zuerst) *Multiplikation und Division (von links nach rechts) *Addition und Subtraktion (von links nach rechts) <div class="exempel"> '''Beispiel 1''' <ol type="a"> <li><math>3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2</math></li> <li><math>3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12</math></li> <li><math> 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))}</math> <math>\qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26</math></li> </ol> </div> === "Unsichtbare" Klammern === Bei der Division soll der Zähler und der Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt. <div class="exempel"> '''Beispiel 2''' <ol type="a"> <li><math>\frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6</math></li> <li><math>\frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2</math></li> <li><math>\frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2</math></li> </ol> </div> Dies muss man besonders beachten wenn man einen Taschenrechner benutzt. {{Displayed math||<math>\frac{8+4}{2+4}</math>}} muss als <math>(8 + 4 )/(2 + 4)</math> geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die Richtige Antwort <math>2</math> ergibt. Ein häufiger Fehler ist das man stattdessen <math>8 + 4/2 + 4</math> schreibt. Dies interpretiert der Rechner als <math>8 + 2 + 4 = 14</math>. == Verschiedene Zahlen == Die Zahlen die wir normalerweise verwenden um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengerade darstellen: <center>{{:1.1 - Bild - Zahlengerade}}</center> Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade, ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengerade kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, benennt man '''R'''. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an, indem eine Zahl rechts von einer anderen Zahl immer größer ist. Die reellen Zahlen werden in folgenden Zahlenmengen unterschieden: ''Natürliche Zahlen'' (normalerweise mit '''N''' bezeichnet) Die natürlichen Zahlen verwendet man beim zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... ''Ganze Zahlen'' ('''Z''') Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... ''Rationale Zahlen'' ('''Q''') Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen die eine Quote zwischen ganzen Zahlen sind, zum beispiel, {{Displayed math||<math>-\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{etc.}</math>}} Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen: {{Displayed math||<math>-1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}</math>}} Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel: {{Displayed math||<math>2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}</math>}} <div class="exempel"> '''Beispiel 3''' <ol type="a"> <li> Indem man den Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert man nicht den Wärt der rationalen Zahl. {{Displayed math||<math>\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}</math>}} </li> <li> "a"> <li> Indem man den Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert man nicht den Wärt der rationalen Zahl. {{Displayed math||<math>\frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5} = \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{etc.}</math>}} </li> </ol> </div> ''Irrationale Zahlen'' Die Zahlen auf der Zahlgeraden die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen <math>\sqrt{2}</math> and <math>\sqrt{3}</math>, aber auch andere Zahlen, sowie <math>\pi</math> === Dezimaldarstellung === Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden, mit beliebiger Anzahl von Dezimalen. Ziffern vor dem Komma werden mit <math>1, 10, 100, ...</math> multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit <math>1/10, 1/100, 1/1000, ...</math> multipliziert werden <center>{{:1.1 - Bild - Dezimalform}}</center> <div class="exempel"> '''Beispiel 4''' {{Displayed math||<math>1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}</math>}} </div> Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man die Division ausführt. Also ist <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> gleich "3 durch 4", oder 0,75. Mehr über [http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division Schriftliche Division] auf wikipedia. <div class="exempel"> '''Beispiel 5''' <ol type="a"> <li><math>\frac{1}{2} = 0{.}5 = 0{.}5\underline{0}</math></li> <li><math>\frac{1}{3} = 0{.}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}</math></li> <li><math> \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}</math></li> <li><math>\frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</math></li> </ol> (Die unterstrichenen Zahlen wiederholen sich) </div> Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt nur für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensinn zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung. Das umgekehrte Verhältnis gilt auch; wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational. <div class="exempel"> '''Beispiel 6''' Die Zahlen <math>\pi</math> und <math>\sqrt{2}</math> sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung. <ol type="a"> <li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li> <li><math>\sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots</math></li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Beispiel 7''' <ol type="a"> <li><math> 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} </math></li> <li><math> 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} </math></li> <li><math> 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400} </math></li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Beispiel 8''' Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, nachdem sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als eine Quote zu schreiben, machen wir folgendes: Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts {{Displayed math||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}} Genauso verschiebt sich das Komma <math>3</math> Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> multiplizieren. {{Displayed math||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}} Die Zahlen <math>1000\,x</math> und <math>10\,x</math> haben dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen {{Displayed math||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}} muss eine ganze Zahl sein, nachdem die Dezimalen einander kanzellieren. {{Displayed math||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}} also ist {{Displayed math||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}</math>}} </div> === Rundung === Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern <math>0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4</math> werden abgerundet, während die Ziffern <math>5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9</math> aufgerundet werden. Das Symbol <math>\approx</math> (ist ungefähr gleich) zeigt an dass eine Zahl gerundet ist <div class="exempel"> '''Beispiel 9''' Rundung zu 3 Dezimalstellen: <ol type="a"> <li><math>1{,}0004 \approx 1,000</math></li> <li><math>0{,}9999 \approx 1{,}000</math></li> <li><math>2{,}9994999 \approx 2{,}999</math></li> <li><math>2{,}99950 \approx 3{,}000</math></li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Beispiel 10''' Rundung zu 4 Dezimalstellen: <ol type="a"> <li><math>\pi \approx 3{,}1416 </math></li> <li><math>\frac{2}{3} \approx 0{,}6667 </math></li> </ol> </div> == Zahlen vergleichen == Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwändet man die Verhältniszeichen &gt; (größer als), &lt; (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kan bestimmt werden indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale zahlen mit gemeinsamen Nenner schreibt. <div class="exempel"> '''Beispiel 11''' <ol type="a"> <li>Welche von den Zahlen <math>x=\frac{1}{3}</math> und <math>y=0{,}33</math> ist am größten?<br/><br/> Folgendes gilt: {{Displayed math||<math>x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{and}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}</math>}} Also ist <math>x>y</math> nachdem <math>100/300 > 99/300</math>.<br/><br/> Alternativ schreibt man beide Zahlen sls Dezimalzahlen, und sieht dass <math>1/3>0{,}33</math> nachdem <math>1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33</math>.</li> <li>Welche von den Zahlen <math>\frac{2}{5}</math> und <math>\frac{3}{7}</math> ist am größten?<br/><br/> Wir schreiben die Zahlen mit gemeinsamen Nenner, also <math>35</math> {{Displayed math||<math>\frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}</math>}} Also ist <math>\frac{3}{7}>\frac{2}{5}</math> nachdem <math>\frac{15}{35} > \frac{14}{35}</math>.</li> </ol> </div> [[1.1 Exercises|Exercises]] <div class="inforuta" style="width: 580px;"> '''Tipps fürs lernen''' '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge" '''Vorsicht''' Viele Lösungen sind falsch wegen Tippfehlern. '''Literaturhinweise''' For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references [http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic Learn more about arithmetic in the English Wikipedia ] [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Zero.html Who discovered zero? Read more in "The MacTutor History of Mathematics archive"] [http://www.mathsisfun.com/long_division.html Long division] [http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... Did you know that 0,999... = 1?] '''Nützliche Websites''' How many colours are needed to colour a map? How many times does one need to shuffle a deck of cards? What is the greatest prime number? Are there any "lucky numbers"? What is the most beautiful number? Listen to the famous writer and mathematician Simon Singh, who among other things, tells about the magic numbers 4 and 7, about the prime numbers, about Keplers piles and about the concept of zero. [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers1.shtml Listen to the BBC programmes "5 Numbers" ] [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/another5.shtml Listen to the BBC programmes "Another 5 numbers"] </div>

• 1.1 - Bild - Dezimalform
• 1.1 - Bild - Grundrechnungsarten der Arithmetik
• 1.1 - Bild - Zahlengerade
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