Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Gewählter Tab|[[1.3 Potenzen|Theorie]]}} {{Nicht gewählter Tab|[[1.3 Übungen|Übungen]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Inhalt: ''' * Positive ganze Exponenten * Negative ganze Exponenten * Rationale Exponenten * Die Rechenregeln für Exponenten }} {{Info| '''Lernziele:''' Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können: * Die Begriffe Basis und Exponent verstehen. * Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen. * Die Rechenregeln für Exponenten beherrschen. * Wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen). * Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis). }} == A - Ganze Exponenten == Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel, {{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}} Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl: {{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}} Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet. <div class="exempel"> '''Beispiel 1 ''' <ol type="a"> <li><math>5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125</math></li> <li><math>10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000</math></li> <li><math>0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001</math></li> <li><math>(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16</math>, aber <math> -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16</math></li> <li><math> 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18</math>, aber <math> (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36</math></li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Beispiel 2''' <ol type="a"> <li><math> \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}</math></li> <li><math>(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)</math><br> <math>\phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296</math></li> </ol> </div> Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden: <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}} f&uuml;r <math> a,b \in </math> '''R''' <math> \setminus \{0\} </math> und <math> m \in \, </math> '''N''' wie in den Beispielen (oder auch allgemeiner <math> m \in </math> '''R'''). </div> == B - Rechenregeln für Potenzen == Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass {{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}} Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}</math>}} </div> Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}} Was durch folgende Regel verallgemeinert werden kann <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}</math>}} </div> Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist {{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}} und {{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}} Dies kann durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} </math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 3''' <ol type="a"> <li><math>2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}</math></li> <li><math>5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4</math></li> <li><math>3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9</math></li> <li><math>10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8</math></li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Beispiel 4''' <ol type="a"> <li><math>\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2</math></li> <li><math>\frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9</math></li> </ol> </div> Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes: {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}</math>}} Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle <math>a \ne 0</math> <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math> a^0 = 1\mbox{.} </math>}} </div> Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel: {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} Dies muss bedeuten dass {{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}} Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle <math>a \ne 0</math> <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 5''' <ol type="a"> <li><math>\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1</math></li> <li><math>3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2</math></li> <li><math>0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}</math></li> <li><math>0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}</math></li> <li><math>\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}</math></li> <li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li> <li><math>0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li> </ol> </div> Wenn die Basis einer Potenz <math>-1</math> ist, ist der Ausdruck entweder <math>-1</math> oder <math>+1</math> je nach Exponent. {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}} Die allgemeine Rechenregel ist, dass <math>(-1)^n </math> gleich <math>-1</math> ist, wenn <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math>, wenn <math>n</math> gerade ist. <div class="exempel"> ''' Beispiel 6''' <ol type="a"> <li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> weil <math>56</math> gerade ist </li> <li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> weil 11 ungerade ist </li> <li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li> </ol> </div> == C - Basis wechseln == Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel: {{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots</math>}} Und auch {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots</math>}} {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots</math>}} Usw. <div class="exempel"> ''' Beispiel 7''' <ol type="a"> <li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> als eine Potenz mit der Basis 2. <br/> <br/> :<math>8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4</math> :<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li> <li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> als eine Potenz mit der Basis 3. <br/> <br/> :<math>\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}</math> :<math>\qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2</math></li> <li> Vereinfache <math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}</math> so weit wie möglich. <br/> <br/> :<math>\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}</math> :<math>\qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8</math></li> </ol> </div> == D - Rationale Exponenten == Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein? Nachdem zum Beispiel {{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}} muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math> \sqrt{2} </math> sein, weil <math> \sqrt2 </math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt.&nbsp; Generell definiert man <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}</math>}} </div> Wir müssen annehmen, dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt. Wie haben aber zum Beispiel auch {{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}} Was bedeuten muss, dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was durch folgende Rechenregel verallgemeinert werden kann <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}</math>}} </div> Indem man diese Regel mit der Regel <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> kombiniert, sieht man, dass für alle <math>a\ge0</math> folgendes gilt <div class="regel"> {{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}</math>}} oder {{Abgesetzte Formel||<math>a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} </math>}} </div> <div class="exempel"> ''' Beispiel 8''' <ol type="a"> <li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad</math> ,da <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li> <li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}</math></li> <li><math>\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}</math></li> <li><math>\frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}</math></li> </ol> </div> == E - Potenzen vergleichen == Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen. Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird. <div class="exempel"> ''' Beispiel 9''' <ol type="a"> <li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> weil die Basis <math>3</math> größer als <math>1</math> und der erste Exponent <math>5/6</math> größer als der zweite Exponent <math>3/4</math> ist.</li> <li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> weil die Basis größer als <math>1</math> ist und für die Exponenten gilt, dass <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li> <li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> da die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>. </ol> </div> Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz. <div class="exempel"> ''' Beispiel 10''' <ol type="a"> <li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> weil die Basis <math>5</math> größer als die Basis <math>4</math> ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten <math>3/2</math> haben.</li> <li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> weil für die Basen gilt, dass <math>2<3</math>, und die Potenzen den negativen Exponenten <math>-5/3</math> haben.</li> </ol> </div> In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zum Beispiel <math>125^2</math> mit <math>36^3</math> zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben: {{Abgesetzte Formel||<math> 125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 </math>}} womit man sieht, dass <math>36^3 > 125^2</math>. <div class="exempel"> ''' Beispiel 11''' Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größte ist. <ol type="a"> <li><math> 25^{1/3} </math>&nbsp; und &nbsp;<math> 5^{3/4} </math>. <br> <br> Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Deshalb ist {{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}} Daher ist {{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}} weil <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> und die Basis <math>5</math> größer als <math>1</math> ist.</li> <li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>&nbsp; und <math>128</math>. <br> <br> <math>8</math> und <math>128</math> können beide mit der Basis <math>2</math> geschrieben werden {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}} Dies bedeutet, dass {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ 128 &= 2^7 = 2^{14/2} \end{align*}</math>}} Daher ist {{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}} weil <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> und die Basis <math>2</math> größer als <math>1</math> ist.</li> <li><math> (8^2)^{1/5} </math> und <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>. <br> <br> Wegen <math>8=2^3</math> und <math>27=3^3</math>, können die Basen als Exponenten von <math>2</math> bzw. <math>3</math> geschrieben werden. {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}\\ (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.} \end{align*}</math>}} Jetzt sieht man, dass {{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}} nachdem <math> 3>2</math> und der Exponent <math>\frac{6}{5}</math> positiv ist. <li><math> 3^{1/3} </math>&nbsp; und &nbsp;<math> 2^{1/2}</math> <br> <br> Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad</math> und <math>\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}</math>.}} Dies ergibt {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*} 3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6} \end{align*}</math>}} Daher ist {{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}} nachdem <math> 9>8</math> und der Exponent <math>1/6</math> positiv ist.</li> </ol> </div> Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> [[1.3 Übungen|Übungen]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Tipps fürs Lernen''' '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' Nachdem Du mit der Theorie und den &Uuml;bungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". '''Bedenke folgendes:''' Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist. '''Literaturhinweise''' Für die, die tiefer in die Materie Eindringen wollen, sind hier einige Links ang eführt: [http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik) Mehr über Potenzen in der Wikipedia] [http://primes.utm.edu/ Welche ist die größte Primzahl? Lies Mehr auf der Primzahlseite (engl.)] '''Nützliche Websites''' [http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Hier kannst Du die Rechenregeln fü Potenzen üben (engl.)] </div>

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