Tek den 7 maj 2008 kl. 13.19

Tek — Wed, 07 May 2008 13:19:49 GMT

Tek den 10 april 2008 kl. 12.35

Tek — Thu, 10 Apr 2008 12:35:00 GMT

(Skillnad mellan versioner)

Tek: Ny sida: NOTOC {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|T...

Tek — Thu, 03 Apr 2008 14:10:39 GMT

Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|T...

Ny sida

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|Teori]]}}
{{Mall:Ej vald flik|[[3.3 Övningar|Övningar]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

← Äldre version		Versionen från 7 maj 2008 kl. 13.19
Rad 9:		Rad 9:
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''
-	* de Moivres formel	+	* De Moivres formel
	* Binomiska ekvationer		* Binomiska ekvationer
	* Exponentialform		* Exponentialform
Rad 108:		Rad 108:
	</div>		</div>

-	Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där <math>z</math> är ~~den obekante~~, och en sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.	+	Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där <math>z</math> är obekant, och en sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.

	För ett givet tal <math>w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> ansätter man det sökta talet <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> och den binomiska ekvationen blir		För ett givet tal <math>w=\|\,w\,\|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> ansätter man det sökta talet <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> och den binomiska ekvationen blir
Rad 118:		Rad 118:
	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^{\,n} &= \|w\|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^{\,n} &= \|w\|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Observera att vi lägger till en multipler av <math>2\pi</math> för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som <math>\theta</math>. Man får då att	+	Observera att vi lägger till multipler av <math>2\pi</math> för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som <math>\theta</math>. Man får då att

-	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}}\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{\|w\|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align}</math>}}

	Detta ger ''ett'' värde på <math>r</math>, men oändligt många värden på <math>\alpha</math>. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från <math>k = 0</math> till <math>k = n - 1</math> får man olika argument för <math>z</math> och därmed olika lägen för <math>z</math> i det komplexa talplanet. För övriga värden på <math>k</math> kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen <math>z^n=w</math> har exakt <math>n</math> rötter.		Detta ger ''ett'' värde på <math>r</math>, men oändligt många värden på <math>\alpha</math>. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från <math>k = 0</math> till <math>k = n - 1</math> får man olika argument för <math>z</math> och därmed olika lägen för <math>z</math> i det komplexa talplanet. För övriga värden på <math>k</math> kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen <math>z^n=w</math> har exakt <math>n</math> rötter.
Rad 143:		Rad 143:
	När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att		När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att

-	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^4 &= 16\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi\end{align}\qquad\text{dvs.}\qquad\biggl\{\begin{align} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2 \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align}\qquad\text{dvs.}\qquad\biggl\{\begin{align} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align}</math>}}

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\| width="95%"\|		\| width="95%"\|
	Lösningarna till ekvationen är alltså		Lösningarna till ekvationen är alltså
-	{{Fristående formel\|\|<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr)\\[4pt]	+	{{Fristående formel\|\|<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
-	\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\\[4pt]	+	\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
-	\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}\\[4pt]	+	\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
-	\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr)\end{align*}\right.</math>}}	+	\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.</math>}}
	\| width="5%" \|		\| width="5%" \|
	\|\|{{:3.3 - Figur - Komplexa talen z₁, z₂, z₃ och z₄}}		\|\|{{:3.3 - Figur - Komplexa talen z₁, z₂, z₃ och z₄}}
Rad 224:		Rad 224:

	Sätt <math>w = z + i</math>. Vi får då den binomiska ekvationen <math>\ w^3=-8i\,</math>. Till att börja med skriver vi om <math>w</math> och <math>-8i</math> i polär form		Sätt <math>w = z + i</math>. Vi får då den binomiska ekvationen <math>\ w^3=-8i\,</math>. Till att börja med skriver vi om <math>w</math> och <math>-8i</math> i polär form
-	*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}</math>	+	*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
-	*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}</math>	+	*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
	Ekvationen blir i polär form <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math> och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att		Ekvationen blir i polär form <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math> och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att

-	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^3 &= 8\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\end{align}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	Rötterna till ekvationen blir därmed		Rötterna till ekvationen blir därmed
-	*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\quad\vphantom{\biggl(}</math>	+	*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
-	*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\quad\vphantom{\Biggl(}</math>	+	*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
-	*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\quad\vphantom{\biggl(}</math>	+	*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>

	dvs. <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> och <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.		dvs. <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> och <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
Rad 250:		Rad 250:
	{{Fristående formel\|\|<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}

-	vilket är ~~ekvivalent med~~ <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>, som ger efter identifikation av belopp och argument	+	vilket direkt ger att <math>r=0</math> är en lösning, dvs. <math>z=0</math>. Om vi antar att <math>r\not=0</math> så kan ekvationen skrivas <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>, som ger efter identifikation av belopp och argument

-	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &= 1\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\end{align}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align} r &= 1\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\biggl\{\begin{align} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

	Lösningarna är		Lösningarna är
-	*<math>\quad z_1 = e^0 = 1</math>	+	*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
-	*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\vphantom{\Biggl(}</math>	+	*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
-	*<math>\quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i</math>	+	*<math>\quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}</math>
		+	*<math>\quad z_4 = 0\,\mbox{.}</math>

	</div>		</div>
Rad 427:		Rad 428:
	{{Fristående formel\|\|<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}

-	Denna ekvation är en andragradsekvation i <math>x^2</math> vilket man ser lättare genom att sätta <math>t=x^2</math>	+	Denna ekvation är en andragradsekvation i <math>x^2</math> vilket man ser lättare genom att sätta <math>t=x^2</math>,

	{{Fristående formel\|\|<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}

	Lösningarna är <math>t = 1</math> och <math>t = -4</math>. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom <math>x</math> och <math>y</math> är reella tal och då kan inte <math>x^2=-4</math>. Vi får att <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, vilket ger oss två möjligheter		Lösningarna är <math>t = 1</math> och <math>t = -4</math>. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom <math>x</math> och <math>y</math> är reella tal och då kan inte <math>x^2=-4</math>. Vi får att <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, vilket ger oss två möjligheter
-	* <math>\ x=-1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>.	+	* <math>\ x=-1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
	* <math>\ x=1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.		* <math>\ x=1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.

Rad 470:		Rad 471:
	Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att		Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att

-	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ z &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ z &= -3+i\pm(1-2i)\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align}</math>}}

-	där vi använt det framräknade värdet på <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> från exempel 6. Lösningarna är alltså	+	där vi använt det framräknade värdet på <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> från exempel 15. Lösningarna är alltså

	{{Fristående formel\|\|<math>z=\biggl\{\begin{align} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>z=\biggl\{\begin{align} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

3.3 Potenser och rötter - Versionshistorik

Tek den 7 maj 2008 kl. 13.19

Tek den 10 april 2008 kl. 12.35

Tek: Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|T...

Tek: Ny sida: NOTOC {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|T...