3.2 Polär form - Versionshistorik

Lina den 21 augusti 2008 kl. 09.38

Lina — Thu, 21 Aug 2008 09:38:55 GMT

← Äldre version		Versionen från 21 augusti 2008 kl. 09.38
Rad 357:		Rad 357:
	<br/>		<br/>
	Använder vi den polära formen av <math>i</math> så fås att		Använder vi den polära formen av <math>i</math> så fås att
-	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 2\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} iz &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr) = 3\Bigl(\cos\frac{9\pi}{4}+i\sin\frac{9\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] &= 3\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)\,\mbox{,}\\[6pt] \frac{z}{i} &= 3\Bigl(\cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{\pi}{2}\Bigr)\,\Bigr)= 3\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>

Tek den 5 maj 2008 kl. 12.52

Tek — Mon, 05 May 2008 12:52:24 GMT

← Äldre version		Versionen från 5 maj 2008 kl. 12.52
Rad 66:		Rad 66:
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
	\| width="100%" \|Vi har att		\| width="100%" \|Vi har att
-	*<math>\overline{z}=2-i</math>	+	*<math>\overline{z}=2-i\,</math>,
-	*<math>\overline{w}=-3+i</math>	+	*<math>\overline{w}=-3+i\,</math>,
-	*<math>z-w=2+i-(-3-i)</math><br/><math>\phantom{z-w}{}=5+2i</math>	+	*<math>z-w=2+i-(-3-i)</math><br/><math>\phantom{z-w}{}=5+2i\,</math>,
-	*<math>\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)</math><br/><math>\phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})</math>	+	*<math>\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)</math><br/><math>\phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})\,</math>.
	\|\|{{:3.2 - Figur - Komplexa talplanet med z, w, z, z - w och z - w* markerade}}		\|\|{{:3.2 - Figur - Komplexa talplanet med z, w, z, z - w och z - w* markerade}}
	\|}		\|}
Rad 83:		Rad 83:
	Markera i det komplexa talplanet alla tal <math>z</math> som uppfyller följande villkor:		Markera i det komplexa talplanet alla tal <math>z</math> som uppfyller följande villkor:
	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li><math>\mathop{\rm Re} z \ge 3</math></li>	+	<li><math>\mathop{\rm Re} z \ge 3\,</math>,</li>
-	<li><math> -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2</math></li>	+	<li><math> -1 < \mathop{\rm Im} z \le 2\,</math>.</li>
	</ol>		</ol>

Rad 97:		Rad 97:
	\| valign="top" \|<small>Alla tal som uppfyller Re ''z'' ≥ 3 har en realdel som är större än eller lika med 3. Dessa tal bildar det färgade halvplanet i figuren.</small>		\| valign="top" \|<small>Alla tal som uppfyller Re ''z'' ≥ 3 har en realdel som är större än eller lika med 3. Dessa tal bildar det färgade halvplanet i figuren.</small>
	\|\|		\|\|
-	\| valign="top" \|<small>Tal som uppfyller -1 < Im ''z'' ≤ 2 har en imaginärdel som är mellan -1 och 2. ~~Dess~~ tal ligger därför inom det bandformade område som markerats i figuren. Den undre horisontella linjen är streckad och det betyder att punkter på den linjen inte tillhör det färgade området.</small>	+	\| valign="top" \|<small>Tal som uppfyller -1 < Im ''z'' ≤ 2 har en imaginärdel som är mellan -1 och 2. Dessa tal ligger därför inom det bandformade område som markerats i figuren. Den undre horisontella linjen är streckad och det betyder att punkter på den linjen inte tillhör det färgade området.</small>
	\|}		\|}
	</div>		</div>
Rad 225:		Rad 225:
	== Polär form ==		== Polär form ==

-	I stället för att ange ett komplext tal <math>z=x+iy</math> i dess rektangulära koordinater <math>(x,y)</math> kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, <math>r</math>, till origo, samt den vinkel <math>\alpha</math> som bildas mellan den positiva ~~''x''-axeln~~ och sträckan från origo till talet (se figuren).	+	I stället för att ange ett komplext tal <math>z=x+iy</math> i dess rektangulära koordinater <math>(x,y)</math> kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, <math>r</math>, till origo, samt den vinkel, <math>\alpha</math>, som bildas mellan den positiva realaxeln och sträckan från origo till talet (se figuren).


Rad 246:		Rad 246:
	Det reella talet <math>r</math>, avståndet till origo, känner vi redan som beloppet av <math>z</math>,		Det reella talet <math>r</math>, avståndet till origo, känner vi redan som beloppet av <math>z</math>,

-	<div class="regel">{{Fristående formel\|\|<math>r=\sqrt{x^2+y^2}=\|\,z\,\|</math>}}</div>	+	<div class="regel">{{Fristående formel\|\|<math>r=\sqrt{x^2+y^2}=\|\,z\,\|\,\mbox{.}</math>}}</div>

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Rad 325:		Rad 325:
	<br/>		<br/>
	Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form		Vi skriver täljaren och nämnaren i polär form
-	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}~~\Bigl(~~\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}~~\Bigr)~~ &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] ~~\Bigr(~~-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}~~\Bigr)~~ &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] -\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2} &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}
	och då följer att		och då följer att
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
Rad 334:		Rad 334:
	<br/>		<br/>
	Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form		Faktorerna i uttrycket skriver vi i polär form
-	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] (1+i)&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}-2-2i&=\sqrt8\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\,\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{,}\\[4pt] 1+i&=\sqrt2\Bigl(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\Bigr)\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att		Genom att utföra multiplikationen i polär form får vi att
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}(-2-2i)(1+i)&=\sqrt8 \cdot \sqrt2\,\Bigl(\cos\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)+i\,\sin\Bigl(\frac{5\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr)\\[4pt] &=4\Bigl(\cos\frac{3\pi}{2}+i\,\sin\frac{3\pi}{2} \Bigr)=-4i\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

Tek: Ändrade i exempel 3b

Tek — Mon, 05 May 2008 06:49:26 GMT

Ändrade i exempel 3b

← Äldre version		Versionen från 5 maj 2008 kl. 06.49
Rad 154:		Rad 154:
	\| width="95%" \|		\| width="95%" \|
	<ol type="a" start="2">		<ol type="a" start="2">
-	<li><math>\,\, \|\,z-3\,\|=1</math>	+	<li><math>\,\, \|\,z-2\,\|=1</math>
	<br/>		<br/>
	<br/>		<br/>
-	Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 3 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i <math>z = 3</math>.</li>	+	Denna ekvation uppfylls av alla tal vars avstånd till talet 2 är 1, dvs. en cirkel med radien 1 och medelpunkt i <math>z = 2</math>.</li>
	</ol>		</ol>
	\| width="5%" \|		\| width="5%" \|
-	\|\|{{:3.2 - Figur - Cirkeln ∣z - 3∣ = 1}}	+	\|\|{{:3.2 - Figur - Cirkeln ∣z - 2∣ = 1}}
	\|}		\|}

Tek den 10 april 2008 kl. 08.00

Tek — Thu, 10 Apr 2008 08:00:31 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 april 2008 kl. 08.00
Rad 64:		Rad 64:
	Givet <math>z=2+i</math> och <math>w=-3-i</math>. Markera <math>z</math>, <math>w</math>, <math>\overline{z}</math>, <math>\overline{z}-\overline{w}</math> och <math>z-w</math> i det komplexa talplanet.		Givet <math>z=2+i</math> och <math>w=-3-i</math>. Markera <math>z</math>, <math>w</math>, <math>\overline{z}</math>, <math>\overline{z}-\overline{w}</math> och <math>z-w</math> i det komplexa talplanet.

-		+	{\| width="100%"
-	Vi har att	+	\| width="100%" \|Vi har att
	*<math>\overline{z}=2-i</math>		*<math>\overline{z}=2-i</math>
	*<math>\overline{w}=-3+i</math>		*<math>\overline{w}=-3+i</math>
-	*<math>z-w=2+i-(-3-i)=5+2i</math>	+	*<math>z-w=2+i-(-3-i)</math><br/><math>\phantom{z-w}{}=5+2i</math>
-	*<math>\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})</math>	+	*<math>\overline{z} -\overline{w} = 2-i -(-3+i)</math><br/><math>\phantom{\overline{z} -\overline{w}}{}=5-2i\quad ({}=\overline{z-w})</math>
		+	\|\|{{:3.2 - Figur - Komplexa talplanet med z, w, z, z - w och z - w* markerade}}
		+	\|}

-	~~<center>{{:3~~.~~2 - Figur - Komplexa talplanet med z, w, z, z - w och z - w* markerade}}</center>~~	+	Notera hur komplexkonjugerade tal är spegelsymmetriska i reella axeln.

	</div>		</div>
Rad 86:		Rad 88:

	Den första olikheten definierar området i figuren till vänster nedan och den andra olikheten området i figuren till höger nedan.		Den första olikheten definierar området i figuren till vänster nedan och den andra olikheten området i figuren till höger nedan.
		+

	{\| align="center" width="80%"		{\| align="center" width="80%"
Rad 91:		Rad 94:
	\| width="5%" \|		\| width="5%" \|
	\|\|{{:3.2 - Figur - Området -1 mindre än Im z ≤ 2}}		\|\|{{:3.2 - Figur - Området -1 mindre än Im z ≤ 2}}
		+	\|-
		+	\| valign="top" \|<small>Alla tal som uppfyller Re ''z'' ≥ 3 har en realdel som är större än eller lika med 3. Dessa tal bildar det färgade halvplanet i figuren.</small>
		+	\|\|
		+	\| valign="top" \|<small>Tal som uppfyller -1 < Im ''z'' ≤ 2 har en imaginärdel som är mellan -1 och 2. Dess tal ligger därför inom det bandformade område som markerats i figuren. Den undre horisontella linjen är streckad och det betyder att punkter på den linjen inte tillhör det färgade området.</small>
	\|}		\|}
	</div>		</div>
Rad 107:		Rad 114:

	Vi ser att <math>\|\,z\,\|</math> är ett reellt tal och att <math>\|\,z\,\|\ge 0</math>. För reella tal är <math>b = 0</math> och då gäller att <math>\|\,z\,\|=\sqrt{a^2}=\|\,a\,\|</math>, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal. Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet <math>z=a+ib</math> (punkten <math>(a, b)</math>) till <math>z = 0</math> (origo), enligt Pythagoras sats.		Vi ser att <math>\|\,z\,\|</math> är ett reellt tal och att <math>\|\,z\,\|\ge 0</math>. För reella tal är <math>b = 0</math> och då gäller att <math>\|\,z\,\|=\sqrt{a^2}=\|\,a\,\|</math>, vilket överensstämmer med den vanliga definitionen för absolutbelopp av reella tal. Geometriskt är absolutbeloppet avståndet från talet <math>z=a+ib</math> (punkten <math>(a, b)</math>) till <math>z = 0</math> (origo), enligt Pythagoras sats.
		+

	<center>{{:3.2 - Figur - Beloppet av z}}</center>		<center>{{:3.2 - Figur - Beloppet av z}}</center>
Rad 118:		Rad 126:

	<center>{{:3.2 - Figur - Avstånd mellan z och w}}</center>		<center>{{:3.2 - Figur - Avstånd mellan z och w}}</center>
		+

	Eftersom <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, så får man att		Eftersom <math>z-w=(a-c)+i(b-d)</math>, så får man att
Rad 217:		Rad 226:

	I stället för att ange ett komplext tal <math>z=x+iy</math> i dess rektangulära koordinater <math>(x,y)</math> kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, <math>r</math>, till origo, samt den vinkel <math>\alpha</math> som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).		I stället för att ange ett komplext tal <math>z=x+iy</math> i dess rektangulära koordinater <math>(x,y)</math> kan man använda polära koordinater. Detta innebär att man anger talets läge i det komplexa talplanet genom dess avstånd, <math>r</math>, till origo, samt den vinkel <math>\alpha</math> som bildas mellan den positiva ''x''-axeln och sträckan från origo till talet (se figuren).
		+

	<center>{{:3.2 - Figur - Polär form av z}}</center>		<center>{{:3.2 - Figur - Polär form av z}}</center>
		+

	Eftersom <math>\,\cos\alpha = x/r\,</math> och <math>\,\sin\alpha = y/r\,</math> så är <math>\,x = r\cos\alpha\,</math> och <math>\,y= r\sin\alpha</math>. Talet <math>z=x+iy</math> kan därför skrivas som		Eftersom <math>\,\cos\alpha = x/r\,</math> och <math>\,\sin\alpha = y/r\,</math> så är <math>\,x = r\cos\alpha\,</math> och <math>\,y= r\sin\alpha</math>. Talet <math>z=x+iy</math> kan därför skrivas som
Rad 295:		Rad 306:
	I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av <math>z</math> med <math>w</math> att <math>z</math> förlängs med faktorn <math>\|\,w\,\|</math> och roteras moturs med vinkeln <math>\arg\,w</math>.		I det komplexa talplanet innebär alltså en multiplikation av <math>z</math> med <math>w</math> att <math>z</math> förlängs med faktorn <math>\|\,w\,\|</math> och roteras moturs med vinkeln <math>\arg\,w</math>.

-	<center>{{:3.2 - Figur - ~~Division mellan komplexa~~ tal ~~i polär form~~}}~~</center>~~	+
		+	{\| width="80%" align="center"
		+	\|\|{{:3.2 - Figur - Komplexa tal z och w med argument α och β}}
		+	\| width="5%" \|
		+	\|\|{{:3.2 - Figur - Komplexa produkten zw med argument α + β}}
		+	\|}


Rad 311:		Rad 327:
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{7\pi}{4}+i\,\sin\frac{7\pi}{4}\Bigr)\\[4pt] \Bigr(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) &= 1\cdot\Bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\,\sin\frac{3\pi}{4}\Bigr)\end{align}</math>}}
	och då följer att		och då följer att
-	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\~~frac~~{7\pi}{4}+i\,\sin\~~frac~~{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\~~frac~~{3\pi}{4}+i\,\sin\~~frac~~{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[~~4pt~~] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}&\Bigl(\frac{1}{\sqrt2} -\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) \Big/ \Bigl(-\frac{1}{\sqrt2} +\frac{i}{\sqrt2}\Bigr) = \smash{\frac{\cos\dfrac{7\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{7\pi}{4}\vphantom{\Biggl(}}{\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\,\sin\dfrac{3\pi}{4}\vphantom{\Biggl)}}}\\[16pt] &\qquad\quad{}= \cos\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigl)+i\,\sin\Bigl(\frac{7\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}\Bigr)= \cos\pi+i\,\sin\pi=-1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
	</li>		</li>
	<br/>		<br/>

Tek den 10 april 2008 kl. 06.59

Tek — Thu, 10 Apr 2008 06:59:50 GMT

← Äldre version		Versionen från 10 april 2008 kl. 06.59
Rad 42:		Rad 42:


-	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:	+	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer. Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. <math>z-w=z+(-w)</math>.

-		+	{\| width="100%" align="center"
-	{\| width="80%" align="center"	+	\| width="10%" \|
-	\| align="center" \|{{:3.2 - Figur - Addition av komplexa tal}}	+	\| width="35%" align="center" \|{{:3.2 - Figur - Addition av komplexa tal}}
		+	\| width="10%" \|
		+	\| width="35%" align="center" \|{{:3.2 - Figur - Subtraktion av komplexa tal}}
		+	\| width="10%" \|
	\|-		\|-
-	\|\|<small>Geometriskt fås talet ''z'' + ''w'' genom att ett tänkt linjesegment från 0 till ''w'' parallellförflyttas så att startpunkten i 0 hamnar i ''z''. Då kommer linjesegmentets slutpunkt ''w'' hamna i ''z'' + ''w''.</small>	+	\|\|
		+	\| valign="top" \|<small>Geometriskt fås talet ''z'' + ''w'' genom att ett tänkt linjesegment från 0 till ''w'' parallellförflyttas så att startpunkten i 0 hamnar i ''z''. Då kommer linjesegmentets slutpunkt ''w'' hamna i ''z'' + ''w''.</small>
		+	\|\|
		+	\| valign="top" \|<small>Subtraktionen ''z'' - ''w'' kan skrivas som ''z'' + (-''w'') och kan därför tolkas geometriskt som att ett tänkt linjesegment från 0 till -''w'' parallellförflyttas så att 0 hamnar i ''z''. Då hamnar segmentets slutpunkt -''w'' i ''z'' - ''w''.</small>
		+	\|\|
	\|}		\|}
-
-
-	Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. <math>z-w=z+(-w)</math> och får följande utseende:
-
-
-	{\| width="80%" align="center"
-	\| align="center" \|{{:3.2 - Figur - Subtraktion av komplexa tal}}
-	\|-
-	\|\|<small>Subtraktionen ''z'' - ''w'' kan skrivas som ''z'' + (-''w'') och kan därför tolkas geometriskt som att ett tänkt linjesegment från 0 till -''w'' parallellförflyttas så att 0 hamnar i ''z''. Då hamnar segmentets slutpunkt -''w'' i ''z'' - ''w''.</small>
-	\|}
-

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Tek den 9 april 2008 kl. 14.43

Tek — Wed, 09 Apr 2008 14:43:05 GMT

← Äldre version		Versionen från 9 april 2008 kl. 14.43
Rad 31:		Rad 31:
	Eftersom ett komplext tal <math>z=a+bi</math> består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>, så kan <math>z</math> betraktas som ett ordnat talpar <math>(a,b)</math> och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem.		Eftersom ett komplext tal <math>z=a+bi</math> består av en realdel <math>a</math> och en imaginärdel <math>b</math>, så kan <math>z</math> betraktas som ett ordnat talpar <math>(a,b)</math> och tolkas som en punkt i ett koordinatsystem.
	Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten <math>i</math>) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.		Man bildar därför ett koordinatsystem genom att ställa en imaginär axel (en tallinje med enheten <math>i</math>) vinkelrät mot en reell axel (den reella tallinjen). Vi kan nu beskriva varje komplext tal med en punkt i detta koordinatsystem, och varje punkt beskriver ett unikt komplext tal.
		+

	<center>{{:3.2 - Figur - Komplexa talplanet}}</center>		<center>{{:3.2 - Figur - Komplexa talplanet}}</center>
		+

	Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det ''komplexa talplanet''.		Denna geometriska tolkning av de komplexa talen kallas det ''komplexa talplanet''.
Rad 42:		Rad 44:
	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:		Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:

-	<center>{{:3.2 - Figur - Addition av komplexa tal}}</~~center~~>	+
		+	{\| width="80%" align="center"
		+	\| align="center" \|{{:3.2 - Figur - Addition av komplexa tal}}
		+	\|-
		+	\|\|<small>Geometriskt fås talet ''z'' + ''w'' genom att ett tänkt linjesegment från 0 till ''w'' parallellförflyttas så att startpunkten i 0 hamnar i ''z''. Då kommer linjesegmentets slutpunkt ''w'' hamna i ''z'' + ''w''.</small>
		+	\|}
		+

	Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. <math>z-w=z+(-w)</math> och får följande utseende:		Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. <math>z-w=z+(-w)</math> och får följande utseende:

-	<center>{{:3.2 - Figur - Subtraktion av komplexa tal}}</~~center~~>	+
		+	{\| width="80%" align="center"
		+	\| align="center" \|{{:3.2 - Figur - Subtraktion av komplexa tal}}
		+	\|-
		+	\|\|<small>Subtraktionen ''z'' - ''w'' kan skrivas som ''z'' + (-''w'') och kan därför tolkas geometriskt som att ett tänkt linjesegment från 0 till -''w'' parallellförflyttas så att 0 hamnar i ''z''. Då hamnar segmentets slutpunkt -''w'' i ''z'' - ''w''.</small>
		+	\|}

Tek den 9 april 2008 kl. 13.33

Tek — Wed, 09 Apr 2008 13:33:39 GMT

(Skillnad mellan versioner)

Tek: Ny sida: NOTOC {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Mall:Vald flik|Teori}} ...

Tek — Thu, 03 Apr 2008 14:09:45 GMT

Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|Teori}} ...

Ny sida

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
{{Mall:Vald flik|[[3.2 Polär form|Teori]]}}
{{Mall:Ej vald flik|[[3.2 Övningar|Övningar]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}

← Äldre version		Versionen från 10 april 2008 kl. 06.59
Rad 42:		Rad 42:


-	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer:	+	Addition av komplexa tal får helt naturligt en enkel tolkning i det komplexa talplanet och sker geometriskt på samma sätt som vid addition av vektorer. Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. <math>z-w=z+(-w)</math>.

-		+	{\| width="100%" align="center"
-	{\| width="80%" align="center"	+	\| width="10%" \|
-	\| align="center" \|{{:3.2 - Figur - Addition av komplexa tal}}	+	\| width="35%" align="center" \|{{:3.2 - Figur - Addition av komplexa tal}}
		+	\| width="10%" \|
		+	\| width="35%" align="center" \|{{:3.2 - Figur - Subtraktion av komplexa tal}}
		+	\| width="10%" \|
	\|-		\|-
-	\|\|<small>Geometriskt fås talet ''z'' + ''w'' genom att ett tänkt linjesegment från 0 till ''w'' parallellförflyttas så att startpunkten i 0 hamnar i ''z''. Då kommer linjesegmentets slutpunkt ''w'' hamna i ''z'' + ''w''.</small>	+	\|\|
		+	\| valign="top" \|<small>Geometriskt fås talet ''z'' + ''w'' genom att ett tänkt linjesegment från 0 till ''w'' parallellförflyttas så att startpunkten i 0 hamnar i ''z''. Då kommer linjesegmentets slutpunkt ''w'' hamna i ''z'' + ''w''.</small>
		+	\|\|
		+	\| valign="top" \|<small>Subtraktionen ''z'' - ''w'' kan skrivas som ''z'' + (-''w'') och kan därför tolkas geometriskt som att ett tänkt linjesegment från 0 till -''w'' parallellförflyttas så att 0 hamnar i ''z''. Då hamnar segmentets slutpunkt -''w'' i ''z'' - ''w''.</small>
		+	\|\|
	\|}		\|}
-
-
-	Subtraktion kan ses som addition av motsvarande negativa tal, dvs. <math>z-w=z+(-w)</math> och får följande utseende:
-
-
-	{\| width="80%" align="center"
-	\| align="center" \|{{:3.2 - Figur - Subtraktion av komplexa tal}}
-	\|-
-	\|\|<small>Subtraktionen ''z'' - ''w'' kan skrivas som ''z'' + (-''w'') och kan därför tolkas geometriskt som att ett tänkt linjesegment från 0 till -''w'' parallellförflyttas så att 0 hamnar i ''z''. Då hamnar segmentets slutpunkt -''w'' i ''z'' - ''w''.</small>
-	\|}
-

	<div class="exempel">		<div class="exempel">