Tek den 27 april 2008 kl. 13.22

Tek — Sun, 27 Apr 2008 13:22:03 GMT

← Äldre version		Versionen från 27 april 2008 kl. 13.22
Rad 93:		Rad 93:
	\| align="left" \|yttre funktionen, och		\| align="left" \|yttre funktionen, och
	\| align="left" \|<math>u=x^2+2x</math>		\| align="left" \|<math>u=x^2+2x</math>
-	\| align="left" \|inre funktionen.	+	\| align="left" \|inre funktionen,
	\|-		\|-
	\| align="left" \|<math>\dfrac{dy}{du}=4u^3</math>		\| align="left" \|<math>\dfrac{dy}{du}=4u^3</math>
	\| align="left" \|yttre derivata, och		\| align="left" \|yttre derivata, och
	\| align="left" \|<math>\dfrac{du}{dx}=2x+2</math>		\| align="left" \|<math>\dfrac{du}{dx}=2x+2</math>
-	\| align="left" \|inre derivata	+	\| align="left" \|inre derivata.
	\|}		\|}
	</center>		</center>
Rad 179:		Rad 179:
	<li><math> D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)		<li><math> D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
	= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)		= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
-	\cdot D\,~~\bigl(~~(x^2 -3x)^4~~\bigr)~~	+	\cdot D\,(x^2 -3x)^4
	\vphantom{\Bigl(}</math><br>		\vphantom{\Bigl(}</math><br>
	<math>\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}		<math>\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
Rad 217:		Rad 217:
	Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.		Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.

-	Andraderivatan brukar betecknas <math>f^{\,\prime\prime}</math> (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas <math>f^{\,(3)}</math>, <math>f^{\,(4)}</math> osv.	+	Andraderivatan brukar betecknas <math>f^{\,\prime\prime}</math> (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc., betecknas <math>f^{\,(3)}</math>, <math>f^{\,(4)}</math> osv.

-	Även beteckningarna <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math>, <math>\ldots</math> och <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> är vanliga.	+	Även beteckningarna <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math>, <math>\ldots\,</math>, och <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> är vanliga.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Tek den 3 april 2008 kl. 14.00

Tek — Thu, 03 Apr 2008 14:00:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 3 april 2008 kl. 14.00
Rad 1:		Rad 1:
	__NOTOC__		__NOTOC__
		+	{\| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" \|
		+	{{Mall:Vald flik\|[[1.2 Deriveringsregler\|Teori]]}}
		+	{{Mall:Ej vald flik\|[[1.2 Övningar\|Övningar]]}}
		+	\| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"\|
		+	\|}
		+
	{{Info\|		{{Info\|
	'''Innehåll:'''		'''Innehåll:'''

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' * Derivata av en produkt och kvot * Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) * Högre ordningars derivata }} {{Info| '''Färdigheter:''' Efter d...

Tek — Thu, 27 Mar 2008 09:08:57 GMT

Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' * Derivata av en produkt och kvot * Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) * Högre ordningars derivata }} {{Info| '''Färdigheter:''' Efter d...

Ny sida

__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''
* Derivata av en produkt och kvot
* Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln)
* Högre ordningars derivata
}}

{{Info|
'''Färdigheter:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

* I princip kunna derivera vilken elementär funktion som helst.
}}

== Derivering av produkt och kvot ==

Med hjälp av derivatans definition kan man också härleda deriveringsregler för produkter och kvoter av funktionsuttryck:

<div class="regel">
'''Deriveringsregler för produkter och kvoter:'''
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} D\,\bigl(\,f(x) \cdot g(x) \bigr) &= f^{\,\prime}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\\[4pt] D\,\Bigl( \frac{f(x)}{g(x)} \Bigr) &= \frac{f^{\,\prime}(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2} \end{align*}</math>}}
</div>
(Observera att derivering av produkter och kvoter '''inte''' är så enkelt som derivering av summor och differenser, där man kan derivera funktionsuttrycken termvis, dvs. var för sig!)

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''
<ol type="a">
<li><math>D\,(x^2 e^x) = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x
= (2x +x^2)\,e^x\,</math>.</li>
<li><math>D\,(x \sin x) = 1\cdot \sin x + x\cdot\cos x
= \sin x + x \cos x\,</math>.</li>
<li><math>D\,(x \ln x -x) = 1 \cdot \ln x + x\cdot \frac{1}{x} - 1
= \ln x + 1 -1 = \ln x\,</math>.</li>
<li><math>D\,\tan x = D\,\frac{\sin x}{\cos x}
= \frac{ \cos x \cdot \cos x
- \sin x \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2}
\vphantom{\biggl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\tan x}{}
= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x }{ \cos^2 x}
= \frac{1}{\cos^2 x}\,</math>.</li>
<li><math>D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}
= \frac{\displaystyle 1 \cdot \sqrt{x}
- (1+x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}\,)^2}
= \frac{\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{x}}
- \frac{x}{2\sqrt{x}}}{x}
\vphantom{\biggl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\frac{1+x}{\sqrt{x}}}{}
= \frac {\displaystyle \frac {x-1}{2\sqrt{x}}}{x}
= \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}\,</math>.</li>
<li><math>D\,\frac{x\,e^x}{1+x}
= \frac{(1\cdot e^x + x\cdot e^x)(1+x)
- x\,e^x \cdot 1}{(1+x)^2}
\vphantom{\Biggl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\frac{x\,e^x}{1+x}}{}
= \frac{ e^x + x\,e^x + x\,e^x + x^2\,e^x - x\,e^x}{(1+x)^2}
= \frac{(1 + x + x^2)\,e^x} {(1+x)^2}\,</math>.</li>
</ol>
</div>

== Derivering av sammansatta funktioner ==

En funktion <math>y=f(g)</math> där variabeln ''g'' i sin tur är beroende av en variabel ''x'' får formen <math>y=f \bigl( g(x)\bigr)</math> och kallas sammansatt funktion. Om man deriverar en sammansatt funktion med avseende på den oberoende variabeln ''x'', använder man följande regel:

{{Fristående formel||<math>y'(x) = f^{\,\prime}\bigl( g(x) \bigr)
\cdot g'(x)\,\mbox{.}</math>}}

Denna regel brukar kallas kedjeregeln och kan beroende på val av symboler skrivas på olika sätt. Om vi i ovanstående t.ex. sätter <math>y=f(u)</math> och <math>u=g(x)</math> kan kedjeregeln skrivas

{{Fristående formel||<math>\frac{dy}{dx}
= \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\,\mbox{.}</math>}}

Man brukar säga att den sammansatta funktionen ''y'' består av den ''yttre'' funktionen ''f'' och den ''inre'' funktionen ''g''. Analogt kallas <math>f^{\,\prime}</math> för den ''yttre derivatan'' och <math>g'</math> den ''inre derivatan''.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

För funktionen <math>y=(x^2 + 2x)^4</math> är

<center>
{| align="center" cellspacing="3em" cellpadding="0"
| align="left" |<math>y=u^4</math>
| align="left" |yttre funktionen, och
| align="left" |<math>u=x^2+2x</math>
| align="left" |inre funktionen.
|-
| align="left" |<math>\dfrac{dy}{du}=4u^3</math>
| align="left" |yttre derivata, och
| align="left" |<math>\dfrac{du}{dx}=2x+2</math>
| align="left" |inre derivata
|}
</center>

Derivatan av funktionen ''y'' med avseende på ''x'' blir enligt kedjeregeln

{{Fristående formel||<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
= 4 u^3 \cdot (2x +2) = 4(x^2 + 2x)^3 \cdot (2x +2)\,\mbox{.}</math>}}

</div>

När man vant sig vid kedjeregeln inför man sällan nya beteckningar för yttre och inre funktion, utan man lär sig känna igen dessa och deriverar ”rakt på”, enligt mönstret

{{Fristående formel||<math>(\text{yttre derivata})
\cdot (\text{inre derivata})\,\mbox{.}</math>}}

Kom ihåg att även använda produkt- eller kvotregeln när detta är nödvändigt.

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''
<ol type="a">
<li><math> f(x) = \sin (3x^2 + 1)</math><br><br>
<math>\begin{array}{ll}
\text{Yttre derivatan:} & \cos (3x^2 +1)\\
\text{Inre derivatan:} & 6x
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = \cos (3x^2 + 1) \cdot 6x
= 6x \cos (3x^2 +1)</math></li>

<li><math> y = 5 \, e^{x^2}</math><br><br>
<math>\begin{array}{ll}
\text{Yttre derivatan:} & 5\,e^{x^2}\\
\text{Inre derivatan:} & 2x
\end{array}</math><br><br>
<math>y' = 5 \, e^{x^2} \cdot 2x = 10x\, e^{x^2}</math>
</li>

<li><math> f(x) = e^{x\cdot \sin x}</math><br><br>
<math>\begin{array}{ll}
\text{Yttre derivatan:} & e^{x\cdot \sin x}\\
\text{Inre derivatan:} & 1\cdot \sin x + x \cos x
\end{array}</math><br><br>
<math>f^{\,\prime}(x) = e^{x\cdot \sin x} (\sin x + x \cos x)</math>
</li>

<li><math> s(t) = t^2 \cos (\ln t) </math> <br><br>
<math> s'(t) = 2t \cdot \cos (\ln t)
+ t^2 \cdot\Bigl(-\sin (\ln t) \cdot\frac{1}{t}\Bigr)
= 2t \cos (\ln t) - t \sin (\ln t)</math></li>

<li><math> D\,a^x = D\,\bigl( e^{\ln a} \bigr)^x
= D\,e^{\ln a \cdot x}
= e^{\ln a \cdot x} \cdot \ln a
= a^x \cdot \ln a </math></li>

<li><math> D\,x^a = D\,\bigl( e^{\ln x} \bigr)^a
= D\,e^{ a \cdot \ln x }
= e^{a \cdot \ln x} \cdot a \cdot \frac{1}{x}
= x^a \cdot a \cdot x^{-1}
= ax^{a-1}</math></li>
</ol>

</div>

Kedjeregeln kan även användas upprepade gånger på en funktion som är sammansatt i flera steg. Exempelvis funktionen <math>y= f \bigl( g(h(x))\bigr)</math> har derivatan

{{Fristående formel||<math>y'= f^{\,\prime} \bigl ( g(h(x))\bigr)
\cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\,\mbox{.}</math>}}

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''
<ol type="a">
<li><math> D\,\sin^3 2x = D\,(\sin 2x)^3
= 3(\sin 2x)^2 \cdot D\,\sin 2x
= 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot D\,(2x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math> \phantom{D\,\sin^3 2x}{}= 3 \sin^2 2x\cdot\cos 2x\cdot 2
= 6 \sin^2 2x\,\cos 2x</math></li>
<li><math> D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\cdot D\,\bigl((x^2 -3x)^4\bigr)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3
\cdot D\,(x^2-3x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\sin \bigl((x^2 -3x)^4 \bigr)}{}
= \cos \bigl((x^2 -3x)^4\bigr)\cdot 4 (x^2 -3x)^3
\cdot (2x-3)</math></li>
<li><math> D\,\sin^4 (x^2 -3x)
= D\,\bigl( \sin (x^2 -3x) \bigr)^4
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{}
= 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot D\,\sin(x^2-3x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{}
= 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x) \cdot D(x^2 -3x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math>\phantom{D\,\sin^4 (x^2 -3x)}{}
= 4 \sin^3 (x^2 - 3x) \cdot\cos (x^2 -3x)\cdot (2x-3)</math></li>
<li><math>D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot D\,\sqrt{x^3-1}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}}
\cdot D\,(x^3-1)
\vphantom{\Biggl(}</math><br>
<math>\phantom{\displaystyle D\,\Bigl ( e^{\sqrt{x^3-1}}\,\Bigr)}{}
= e^{\sqrt{x^3-1}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x^3-1}} \cdot 3 x^2
= \frac { 3 x^2 e^{\sqrt{x^3-1}}} {2 \sqrt{x^3-1}}
\vphantom{\dfrac{\dfrac{()^2}{()}}{()}}</math></li>
</ol>

</div>

== Derivator av högre ordningar ==

Om en funktion är deriverbar mer än en gång så pratar man om funktionens andra-, tredjederivata, osv.

Andraderivatan brukar betecknas <math>f^{\,\prime\prime}</math> (läses "f-biss"), medan tredje-, fjärdederivatan, etc, betecknas <math>f^{\,(3)}</math>, <math>f^{\,(4)}</math> osv.

Även beteckningarna <math>D^2 f</math>, <math>D^3 f</math>, <math>\ldots</math> och <math>\frac{d^2 y}{dx^2}</math>, <math>\frac{d^3 y}{dx^3}</math>, <math>\ldots</math> är vanliga.

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''
<ol type="a">
<li><math>f(x) = 3\,e^{x^2 -1}</math> <br>
<math>f^{\,\prime}(x) = 3\,e^{x^2 -1} \cdot D\,(x^2-1)
= 3\,e^{x^2 -1} \cdot 2x
= 6x\,e^{x^2 -1}\vphantom{\biggl(}</math><br>
<math>f^{\,\prime\prime}(x) = 6\,e^{x^2 -1} + 6x\,e^{x^2 -1} \cdot 2x
= 6\,e^{x^2 -1}\,(1+ 2x^2) </math></li>
<li><math> y = \sin x\,\cos x</math><br>
<math>\frac{dy}{dx} = \cos x\,\cos x + \sin x\,(- \sin x)
= \cos^2 x - \sin^2 x\vphantom{\Biggl(}</math><br>
<math>\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \cos x\,(-\sin x) - 2 \sin x \cos x
= -4 \sin x \cos x </math></li>
<li><math> D\,( e^x \sin x) = e^x \sin x + e^x \cos x
= e^x (\sin x + \cos x)
\vphantom{\Bigl(}</math><br>
<math> D^2(e^x\sin x) = D\,\bigl(e^x (\sin x + \cos x)\bigr)
\vphantom{\Bigl(}</math>
<math>\phantom{D^2(e^x\sin x)}{}
= e^x (\sin x + \cos x) + e^x (\cos x - \sin x)
= 2\,e^x \cos x
\vphantom{\biggl(}</math><br>
<math>D^3 ( e^x \sin x) = D\,(2\,e^x \cos x)
\vphantom{\Bigl(}</math>
<math>\phantom{D^3 ( e^x \sin x)}{}
= 2\,e^x \cos x + 2\,e^x (-\sin x)
= 2\,e^x ( \cos x - \sin x )</math></li>
</ol>

</div>

1.2 Deriveringsregler - Versionshistorik

Tek den 27 april 2008 kl. 13.22

Tek den 3 april 2008 kl. 14.00

Tek: Ny sida: __NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' * Derivata av en produkt och kvot * Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) * Högre ordningars derivata }} {{Info| '''Färdigheter:''' Efter d...

Tek: Ny sida: NOTOC {{Info| '''Innehåll:''' * Derivata av en produkt och kvot * Derivata av en sammansatt funktion (kedjeregeln) * Högre ordningars derivata }} {{Info| '''Färdigheter:''' Efter d...