2.1 Inledning till integraler - Versionshistorik

Lina: /* Räkneregler för integraler */

2008-06-23T13:48:31Z

Räkneregler för integraler

← Äldre version		Versionen från 23 juni 2008 kl. 13.48
Rad 380:		Rad 380:
	<math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}		<math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2}
	\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>		\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
-	<math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr)	+	<math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 2^4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr)
	- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2		- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2
	+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>		+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
Rad 436:		Rad 436:

	</div>		</div>
-

	== Area mellan kurvor ==		== Area mellan kurvor ==

Tek den 3 maj 2008 kl. 13.45

2008-05-03T13:45:15Z

← Äldre version		Versionen från 3 maj 2008 kl. 13.45
Rad 21:		Rad 21:

	* Tolka integraler som areor, dvs. "area ovanför <math>x</math>-axeln" minus "area under <math>x</math>-axeln".		* Tolka integraler som areor, dvs. "area ovanför <math>x</math>-axeln" minus "area under <math>x</math>-axeln".
-	* Förstå andra tolkningar av integralen, t. ex. ~~massa/~~densitet, fart/sträcka, ström/laddning, etc.	+	* Förstå andra tolkningar av integralen, t. ex. densitet/massa, fart/sträcka, ström/laddning, etc.
	* Kunna bestämma primitiv funktion till <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^{kx}</math>, <math>\cos kx</math>, <math>\sin kx</math> och summa/differens av sådana termer.		* Kunna bestämma primitiv funktion till <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^{kx}</math>, <math>\cos kx</math>, <math>\sin kx</math> och summa/differens av sådana termer.
	* Kunna räkna ut area under en funktionskurva.		* Kunna räkna ut area under en funktionskurva.
Rad 228:		Rad 228:
	<center>{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x + h}}</center>		<center>{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x + h}}</center>

-	Den totala arean under kurvan från <math>t=a</math> till <math>t=x+h</math> kan skrivas som <math>A(x+h)</math> och är approximativt lika med arean fram till <math>t=x</math> plus ~~area~~ av en stapel från <math>t=x</math> till <math>t=x+h</math>, dvs.	+	Den totala arean under kurvan från <math>t=a</math> till <math>t=x+h</math> kan skrivas som <math>A(x+h)</math> och är approximativt lika med arean fram till <math>t=x</math> plus arean av en stapel från <math>t=x</math> till <math>t=x+h</math>, dvs.

	{{Fristående formel\|\|<math>A(x+h)\approx A(x)+h\cdot f(c)</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>A(x+h)\approx A(x)+h\cdot f(c)</math>}}
Rad 461:		Rad 461:
	\|\|<small>Arean mellan två grafer påverkas inte av om graferna translateras i ''y''-led. Arean mellan graferna till f(x) och g(x) (figuren till vänster) är lika med arean mellan graferna till f(x) - 3 och g(x) - 3 (figuren i mitten), likväl som arean mellan graferna till f(x) - 6 och g(x) - 6 (figuren till höger).</small>		\|\|<small>Arean mellan två grafer påverkas inte av om graferna translateras i ''y''-led. Arean mellan graferna till f(x) och g(x) (figuren till vänster) är lika med arean mellan graferna till f(x) - 3 och g(x) - 3 (figuren i mitten), likväl som arean mellan graferna till f(x) - 6 och g(x) - 6 (figuren till höger).</small>
	\|}		\|}
-
-
-	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} A &= \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-3) - (g(x)-3)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-6) - (g(x)-6)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\end{align}</math>}}
-

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Tek den 7 april 2008 kl. 08.23

2008-04-07T08:23:57Z

← Äldre version		Versionen från 7 april 2008 kl. 08.23
Rad 451:		Rad 451:
	<center>{{:2.1 - Figur - Area mellan y = f(x) och y = g(x)}}</center>		<center>{{:2.1 - Figur - Area mellan y = f(x) och y = g(x)}}</center>
	{\| width="90%" align="center"		{\| width="90%" align="center"
-	\|\|<small>Om ''f''(''x'') och ''g''(''x'') antar positiva värden och ''f''(''x'') är större än ''g''(''x''), då ges arean mellan graferna till ''f'' och ''g'' (figuren till ~~höger~~) som differensen mellan arean under grafen till ''f'' (figuren ~~till vänster~~) och arean under grafen till ''g'' (figuren ~~i mitten~~).</small>	+	\|\|<small>Om ''f''(''x'') och ''g''(''x'') antar positiva värden och ''f''(''x'') är större än ''g''(''x''), då ges arean mellan graferna till ''f'' och ''g'' (figuren till vänster) som differensen mellan arean under grafen till ''f'' (figuren i mitten) och arean under grafen till ''g'' (figuren till höger).</small>
	\|}		\|}

Tek den 7 april 2008 kl. 08.04

2008-04-07T08:04:15Z

← Äldre version		Versionen från 7 april 2008 kl. 08.04
Rad 399:		Rad 399:
	= \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3</math><br/>		= \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3</math><br/>
	{\|		{\|
-	\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 4x, y = 4x - x² + 3 och y = 3}}	+	\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x²/2 - 2x, y = 2x - x²/2 + 3/2 och y = 3/2}}
	\|-		\|-
	\|\|<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x''²/2 - 2''x'' (figuren till vänster) och grafen till ''g''(''x'') = 2''x'' - ''x''²/2 + 3/2 (figuren i mitten) är spegelsymmetriska kring linjen ''y'' = 3/4 (streckad linje i figurerna) och det gör att summan ''f''(''x'') + ''g''(''x'') är konstant lika med 3/2. Summan av integralernas värde är därför lika med arean av en rektangel med bas 2 och höjd 3/2 (figuren till höger).</small>		\|\|<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x''²/2 - 2''x'' (figuren till vänster) och grafen till ''g''(''x'') = 2''x'' - ''x''²/2 + 3/2 (figuren i mitten) är spegelsymmetriska kring linjen ''y'' = 3/4 (streckad linje i figurerna) och det gör att summan ''f''(''x'') + ''g''(''x'') är konstant lika med 3/2. Summan av integralernas värde är därför lika med arean av en rektangel med bas 2 och höjd 3/2 (figuren till höger).</small>
Rad 450:		Rad 450:

	<center>{{:2.1 - Figur - Area mellan y = f(x) och y = g(x)}}</center>		<center>{{:2.1 - Figur - Area mellan y = f(x) och y = g(x)}}</center>
		+	{\| width="90%" align="center"
		+	\|\|<small>Om ''f''(''x'') och ''g''(''x'') antar positiva värden och ''f''(''x'') är större än ''g''(''x''), då ges arean mellan graferna till ''f'' och ''g'' (figuren till höger) som differensen mellan arean under grafen till ''f'' (figuren till vänster) och arean under grafen till ''g'' (figuren i mitten).</small>
		+	\|}


Rad 455:		Rad 458:

	<center>{{:2.1 - Figur - Area translaterad i y-led}}</center>		<center>{{:2.1 - Figur - Area translaterad i y-led}}</center>
		+	{\| width="90%" align="center"
		+	\|\|<small>Arean mellan två grafer påverkas inte av om graferna translateras i ''y''-led. Arean mellan graferna till f(x) och g(x) (figuren till vänster) är lika med arean mellan graferna till f(x) - 3 och g(x) - 3 (figuren i mitten), likväl som arean mellan graferna till f(x) - 6 och g(x) - 6 (figuren till höger).</small>
		+	\|}
		+

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} A &= \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-3) - (g(x)-3)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-6) - (g(x)-6)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} A &= \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-3) - (g(x)-3)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-6) - (g(x)-6)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\end{align}</math>}}
Rad 462:		Rad 469:
	'''Exempel 12'''		'''Exempel 12'''

-	{\| width="100%"
-	\| width="100%" \|
	Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna <math>y=e^x + 1</math> och <math>y=1 - x^2/2</math> samt linjerna <math>x = –1</math> och <math>x = 1</math>.		Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna <math>y=e^x + 1</math> och <math>y=1 - x^2/2</math> samt linjerna <math>x = –1</math> och <math>x = 1</math>.
	<br>		<br>
	<br>		<br>
	Eftersom <math>e^x + 1 > 1 - x^2/2</math> i hela intervallet blir områdets area		Eftersom <math>e^x + 1 > 1 - x^2/2</math> i hela intervallet blir områdets area
-		+	{\| width="100%"
		+	\| width="95%" \|
	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{a.e.}\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{a.e.}\end{align}</math>}}
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area mellan y = e^x - 1 och y = 1 - x²/2}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area mellan y = e^x - 1 och y = 1 - x²/2}}
	\|}		\|}
Rad 481:		Rad 488:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	~~{\| width="100%"~~	+
-	~~\| width="100%" \|~~	+
	Kurvorna skär varandra i punkter där deras ''y''-värden är lika		Kurvorna skär varandra i punkter där deras ''y''-värden är lika

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{eller}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{eller}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

-	Mellan <math>x=0</math> och <math>x=1</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> så områdets area ges av	+	{\| width="100%"
		+	\| width="95%" \|Mellan <math>x=0</math> och <math>x=1</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> så områdets area ges av

-	{{Fristående formel\|\|<math>\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx = \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - 0 = \tfrac{5}{12}\ \text{a.e.}</math>}}	+	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align*}\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx &= \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1}\\
		+	&{}= \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1}\\[4pt]
		+	&{}= \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - (0-0)\\[4pt]
		+	&{}= \tfrac{5}{12}\ \text{a.e.}\end{align*}</math>}}
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area mellan y = ∛x och y = x²}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area mellan y = ∛x och y = x²}}
	\|}		\|}
Rad 502:		Rad 513:
	<br>		<br>
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \|	+	\| width="95%" \|
	I figuren till höger är kurvan och de två linjerna skisserade och då ser vi att området kan delas upp i två delområden som var och en ligger mellan två funktionskurvor. Den totala arean är därför summan av integralerna		I figuren till höger är kurvan och de två linjerna skisserade och då ser vi att området kan delas upp i två delområden som var och en ligger mellan två funktionskurvor. Den totala arean är därför summan av integralerna

Rad 508:		Rad 519:
	\quad\text{och}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}		\quad\text{och}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}}

-	Vi bestämmer först skärningspunkterna <math>x=a</math>, <math>x=b</math> och <math>x=c</math>:	+	Vi bestämmer först skärningspunkterna <math>x=a</math>, <math>x=b</math> och <math>x=c</math>:
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area som begränsas av y = 1/x², y = x och y = 2}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area som begränsas av y = 1/x², y = x och y = 2}}
	\|}		\|}

Tek den 7 april 2008 kl. 06.34

2008-04-07T06:34:22Z

← Äldre version		Versionen från 7 april 2008 kl. 06.34
Rad 394:		Rad 394:

	<ol type="a" start=2>		<ol type="a" start=2>
-	<li><math>\int_{1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{3} (4x - x^2 + 3) \, dx	+	<li><math>\int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx
-	=\int_{1}^{3} 3 \, dx = \Bigl[\,3x\,\Bigr]_{1}^{3}	+	= \int_{1}^{3} 3/2 \, dx</math><br/>
-	= 3\cdot 3 - 3\cdot 1 = 6</math><br/>	+	<math>\qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3}
		+	= \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3</math><br/>
	{\|		{\|
	\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 4x, y = 4x - x² + 3 och y = 3}}		\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 4x, y = 4x - x² + 3 och y = 3}}
	\|-		\|-
-	\|\|<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x''² - 4''x'' (figuren till vänster) och grafen till ''g''(''x'') = 4''x'' - ''x''² + 3 (figuren i mitten) är spegelsymmetriska kring linjen ''y'' = 3/2 och det gör att summan ''f''(''x'') + ''g''(''x'') är konstant lika med 3. Summan av integralernas värde är därför lika med arean av en rektangel med bas 2 och höjd 3 (figuren till höger).</small>	+	\|\|<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x''²/2 - 2''x'' (figuren till vänster) och grafen till ''g''(''x'') = 2''x'' - ''x''²/2 + 3/2 (figuren i mitten) är spegelsymmetriska kring linjen ''y'' = 3/4 (streckad linje i figurerna) och det gör att summan ''f''(''x'') + ''g''(''x'') är konstant lika med 3/2. Summan av integralernas värde är därför lika med arean av en rektangel med bas 2 och höjd 3/2 (figuren till höger).</small>
	\|}		\|}

Tek den 6 april 2008 kl. 12.45

2008-04-06T12:45:20Z

← Äldre version		Versionen från 6 april 2008 kl. 12.45
Rad 396:		Rad 396:
	<li><math>\int_{1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{3} (4x - x^2 + 3) \, dx		<li><math>\int_{1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{3} (4x - x^2 + 3) \, dx
	=\int_{1}^{3} 3 \, dx = \Bigl[\,3x\,\Bigr]_{1}^{3}		=\int_{1}^{3} 3 \, dx = \Bigl[\,3x\,\Bigr]_{1}^{3}
-	= 3\cdot 3 - 3\cdot 1 = 6</math></li>	+	= 3\cdot 3 - 3\cdot 1 = 6</math><br/>
		+	{\|
		+	\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 4x, y = 4x - x² + 3 och y = 3}}
		+	\|-
		+	\|\|<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x''² - 4''x'' (figuren till vänster) och grafen till ''g''(''x'') = 4''x'' - ''x''² + 3 (figuren i mitten) är spegelsymmetriska kring linjen ''y'' = 3/2 och det gör att summan ''f''(''x'') + ''g''(''x'') är konstant lika med 3. Summan av integralernas värde är därför lika med arean av en rektangel med bas 2 och höjd 3 (figuren till höger).</small>
		+	\|}
		+
		+	</li>
	</ol>		</ol>

-	<center>{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 4x, y = 4x - x² + 3 och y = 3}}</center>

	<ol type="a" start=3>		<ol type="a" start=3>
Rad 413:		Rad 419:
	= 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2 </math></li>		= 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2 </math></li>
	</ol>		</ol>
		+

	<ol type="a" start=4>		<ol type="a" start=4>
Rad 418:		Rad 425:
	= \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2}		= \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2}
	= \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr)		= \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr)
-	= 0</math></li>	+	= 0</math><br/>
-	~~</ol>~~	+	{\|
-		+	\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 1}}
-	<center>{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 1}}~~</center>~~	+	\|-
-		+	\|\|<small>Figuren visar grafen till f(x) = x² - 1 och beräkningen ovan visar att den skuggade arean under ''x''-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför ''x''-axeln.</small>
-	{\|~~width="80%" align="center"~~	+
-	\|\|<small>~~Beräkningen~~ ovan visar att den skuggade arean under ''x''-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför ''x''-axeln.</small>	+
	\|}		\|}
		+	</li>
		+	</ol>

	</div>		</div>

Tek den 4 april 2008 kl. 14.34

2008-04-04T14:34:00Z

← Äldre version		Versionen från 4 april 2008 kl. 14.34
Rad 383:		Rad 383:
	- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2		- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2
	+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>		+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
-	<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math~~><br/~~><br/>	+	<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/>
-	{\| ~~width~~="~~100%~~"	+	{\|
-	\|\|{{:2.1 - Figur - Area för y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 och y = x³ - 3x² + 2x + 3}}	+	\| align="center" \|{{:2.1 - Figur - Area för y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 och y = x³ - 3x² + 2x + 3}}
	\|-		\|-
-	\|\|<small>Den vänstra figuren ~~visare~~ arean under grafen till ''f''(''x'') = ''x''³ - 3''x''² + 2''x'' + 1 och den mittersta figuren ~~visare~~ arean under grafen till ''g''(''x'') = 2. I figuren till höger adderas dessa areor ihop och ger arean under grafen till ''f''(''x'') + ''g''(''x'').</small>	+	\|\|<small>Den vänstra figuren visar arean under grafen till ''f''(''x'') = ''x''³ - 3''x''² + 2''x'' + 1 och den mittersta figuren visar arean under grafen till ''g''(''x'') = 2. I figuren till höger adderas dessa areor ihop och ger arean under grafen till ''f''(''x'') + ''g''(''x'').</small>
	\|}		\|}
	</li>		</li>
	</ol>		</ol>
		+

	<ol type="a" start=2>		<ol type="a" start=2>

Tek den 4 april 2008 kl. 14.26

2008-04-04T14:26:32Z

← Äldre version		Versionen från 4 april 2008 kl. 14.26
Rad 383:		Rad 383:
	- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2		- \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2
	+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>		+ 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br>
-	<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math></li>	+	<math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/><br/>
		+	{\| width="100%"
		+	\|\|{{:2.1 - Figur - Area för y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 och y = x³ - 3x² + 2x + 3}}
		+	\|-
		+	\|\|<small>Den vänstra figuren visare arean under grafen till ''f''(''x'') = ''x''³ - 3''x''² + 2''x'' + 1 och den mittersta figuren visare arean under grafen till ''g''(''x'') = 2. I figuren till höger adderas dessa areor ihop och ger arean under grafen till ''f''(''x'') + ''g''(''x'').</small>
		+	\|}
		+	</li>
	</ol>		</ol>
-
-	<center>{{:2.1 - Figur - Area för y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 och y = x³ - 3x² + 2x + 3}}</center>

	<ol type="a" start=2>		<ol type="a" start=2>

Tek den 4 april 2008 kl. 14.13

2008-04-04T14:13:01Z

← Äldre version		Versionen från 4 april 2008 kl. 14.13
Rad 228:		Rad 228:
	<center>{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x + h}}</center>		<center>{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x + h}}</center>

-	Den totala arean under kurvan från <math>t=a</math> till <math>t=x+h</math> kan skrivas som <math>A(x+h)</math> och är approximativt lika med arean <math>A(x)</math> ~~fram~~ till <math>t=x</math> ~~plus stapelns area~~, dvs.	+	Den totala arean under kurvan från <math>t=a</math> till <math>t=x+h</math> kan skrivas som <math>A(x+h)</math> och är approximativt lika med arean fram till <math>t=x</math> plus area av en stapel från <math>t=x</math> till <math>t=x+h</math>, dvs.

	{{Fristående formel\|\|<math>A(x+h)\approx A(x)+h\cdot f(c)</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>A(x+h)\approx A(x)+h\cdot f(c)</math>}}
Rad 272:		Rad 272:
	'''Exempel 7'''		'''Exempel 7'''

		+	Arean som begränsas av kurvan <math>y=2x - x^2</math> och ''x''-axeln kan beräknas med hjälp av integralen
	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \|	+	\| width="95%" \|
-	~~Arean som begränsas av kurvan <math>y=2x - x^2</math> och ''x''-axeln kan beräknas med hjälp av integralen~~	+
-		+
	{{Fristående formel\|\|<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}</math>}}

Rad 283:		Rad 282:

	Arean är <math>\frac{4}{3}</math> a.e.		Arean är <math>\frac{4}{3}</math> a.e.
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = 2x - x² från x = 0 till x = 2}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = 2x - x² från x = 0 till x = 2}}
	\|}		\|}
Rad 295:		Rad 295:
	Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna "baklänges" och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer.		Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna "baklänges" och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer.

-	Symbolen <math>\ \int f(x) \,dx\ </math> kallas den ''obestämda'' integralen av <math>f(x)</math> och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till <math>f(x)</math>. De vanliga deriveringsreglerna ger att	+	Symbolen <math>\,\int f(x) \,dx\ </math> kallas den ''obestämda'' integralen av <math>f(x)</math> och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till <math>f(x)</math>. De vanliga deriveringsreglerna ger att

	{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{där }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln \|x\| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>\begin{align}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{där }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln \|x\| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align}</math>}}
Rad 362:		Rad 362:
	Dessutom gäller att area under ''x''-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under ''x''-axeln så blir integralens värde negativt:		Dessutom gäller att area under ''x''-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under ''x''-axeln så blir integralens värde negativt:

-	~~<center>~~{~~{:2.1 - Figur - Areor A₁ och A₂ mellan y~~ = ~~f(x) och x-axeln}}</~~center>	+	{\| align="center"
-		+	\|\|<math>\begin{align}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align}</math>
-	~~{{Fristående formel~~\|\|<math>A_1 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\~~qquad~~	+	\| width="10%" \|
-	A_2 = -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx</math>}}	+	\|\|{{:2.1 - Figur - Areor A₁ och A₂ mellan y = f(x) och x-axeln}}
		+	\|}

	Den sammanlagda arean blir <math>\ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,</math>.		Den sammanlagda arean blir <math>\ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,</math>.

Tek den 4 april 2008 kl. 12.42

2008-04-04T12:42:07Z

← Äldre version		Versionen från 4 april 2008 kl. 12.42
Rad 107:		Rad 107:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \|Arean under kurvan <math>y=f(x)</math> från <math>x=a</math> till <math>x=c</math> är lika med arean från <math>x=a</math> till <math>x=b</math> plus arean från <math>x=b</math> till <math>x=c</math>. Detta betyder att	+	\| width="95%" \|Arean under kurvan <math>y=f(x)</math> från <math>x=a</math> till <math>x=c</math> är lika med arean från <math>x=a</math> till <math>x=b</math> plus arean från <math>x=b</math> till <math>x=c</math>. Detta betyder att

	{{Fristående formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx		{{Fristående formel\|\|<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx
	= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}		= \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}}
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från a till b och c}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från a till b och c}}
	\|}		\|}
Rad 120:		Rad 121:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \| För ett föremål, vars hastighet förändras enligt funktionen <math>v(t)</math> kan den tillryggalagda sträckan efter 10 s beskrivas med integralen	+	\| width="95%" \| För ett föremål, vars hastighet förändras enligt funktionen <math>v(t)</math> kan den tillryggalagda sträckan efter 10 s beskrivas med integralen
	{{Fristående formel\|\|<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}		{{Fristående formel\|\|<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}}
		+	''Anm.'' Vi antar att hastigheten och sträckan mäts med samma längdenhet.
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area s(10) i ett v-t-diagram}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area s(10) i ett v-t-diagram}}
	\|}		\|}
Rad 144:		Rad 147:

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \|	+	\| width="95%" \|
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li> <math>\int_{0}^{4} 3 \, dx</math><br> <br>		<li> <math>\int_{0}^{4} 3 \, dx</math><br> <br>
Rad 152:		Rad 155:
	<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>		<center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li>
	</ol>		</ol>
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = 3 från x = 0 till x = 4}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = 3 från x = 0 till x = 4}}
	\|}		\|}

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \|	+	\| width="95%" \|
	<ol type="a" start=2>		<ol type="a" start=2>
	<li><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx</math> <br><br>		<li><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx</math> <br><br>
Rad 165:		Rad 169:
	= \frac{3 \cdot 1{,}5}{2} = 2{,}25\,\mbox{.}</math></center></li>		= \frac{3 \cdot 1{,}5}{2} = 2{,}25\,\mbox{.}</math></center></li>
	</ol>		</ol>
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = x/2 - 1 från x = 2 till x = 5}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = x/2 - 1 från x = 2 till x = 5}}
	\|}		\|}

	{\| width="100%"		{\| width="100%"
-	\| width="~~100~~%" \|	+	\| width="95%" \|
	<ol type="a" start=3>		<ol type="a" start=3>
	<li><math>\int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad</math> där		<li><math>\int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad</math> där
Rad 179:		Rad 184:
	= \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li>		= \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li>
	</ol>		</ol>
		+	\| width="5%" \|
	\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = kx från x = 0 till x = a}}		\|\|{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = kx från x = 0 till x = a}}
	\|}		\|}