4.3 Övningar
Förberedande kurs i matematik 1
(Skillnad mellan versioner)
| (14 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 51: | Rad 51: | ||
|} | |} | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:3|Lösning a |Lösning 4.3:3a|Lösning b |Lösning 4.3:3b|Lösning c |Lösning 4.3:3c|Lösning d |Lösning 4.3:3d|Lösning e |Lösning 4.3:3e|Lösning f |Lösning 4.3:3f}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:3|Lösning a |Lösning 4.3:3a|Lösning b |Lösning 4.3:3b|Lösning c |Lösning 4.3:3c|Lösning d |Lösning 4.3:3d|Lösning e |Lösning 4.3:3e|Lösning f |Lösning 4.3:3f}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 4.3:4=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Antag att <math>\,0 \leq v \leq \pi\,</math> och att <math>\,\cos{v}=b\,</math>. Uttryck med hjälp av <math>\,b</math> | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="50%" | <math>\sin^2{v}</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="50%" | <math>\sin{v}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | |width="50%" | <math>\sin{2v}</math> | ||
| + | |d) | ||
| + | |width="50%" | <math>\cos{2v}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |e) | ||
| + | |width="50%" | <math>\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</math> | ||
| + | |f) | ||
| + | |width="50%" | <math>\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:4|Lösning a |Lösning 4.3:4a|Lösning b |Lösning 4.3:4b|Lösning c |Lösning 4.3:4c|Lösning d |Lösning 4.3:4d|Lösning e |Lösning 4.3:4e|Lösning f |Lösning 4.3:4f}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 4.3:5=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | För en spetsig vinkel <math>\,v\,</math> i en triangel gäller att <math>\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,</math>. Bestäm <math>\,\cos{v}\,</math> och <math>\,\tan{v}\,</math>. | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:5|Lösning |Lösning 4.3:5}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 4.3:6=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="100%" | Bestäm <math>\ \sin{v}\ </math> och <math>\ \tan{v}\ </math> om <math>\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ </math> och <math>\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,</math>. | ||
| + | |- | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="100%" | Bestäm <math>\ \cos{v}\ </math> och <math>\ \tan{v}\ </math> om <math>\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ </math> och <math>\,v\,</math> ligger i den andra kvadranten. | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | |width="100%" | Bestäm <math>\ \sin{v}\ </math> och <math>\ \cos{v}\ </math> om <math>\ \tan{v}=3\ </math> och <math>\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,</math>. | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:6|Lösning a |Lösning 4.3:6a|Lösning b |Lösning 4.3:6b|Lösning c |Lösning 4.3:6c}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 4.3:7=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Bestäm <math>\ \sin{(x+y)}\ </math> om | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="100%" | <math>\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,</math>,<math>\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ </math> och <math>\,x\,</math>, <math> \,y\,</math> är vinklar i första kvadranten. | ||
| + | |- | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="100%" | <math>\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,</math>, <math>\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ </math> och <math>\,x\,</math>, <math>\,y\,</math> är vinklar i första kvadranten. | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 4.3:7|Lösning a |Lösning 4.3:7a|Lösning b |Lösning 4.3:7b}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 4.3:8=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Visa följande trigonometriska samband | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="100%" | <math>\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="100%" | <math>\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | |width="100%" | <math>\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |d) | ||
| + | |width="100%" | <math>\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning a |Lösning 4.3:8a|Lösning b |Lösning 4.3:8b|Lösning c |Lösning 4.3:8c|Lösning d |Lösning 4.3:8d}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 4.3:9=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | | | ||
| + | |width="100%" | Visa "Morries formel" | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | |width="100%" |<center> <math>\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}</math> </center> | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
| + | |width="100%" |(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på <math>\,\sin 160^\circ\,</math>.) | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Lösning |Lösning 4.3:9}} | ||
Nuvarande version
| Teori | Övningar |
Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar \displaystyle \,v\, mellan \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \displaystyle \,2\pi\, som uppfyller
| a) | \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} | b) | \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} | c) | \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}} |
Hämtar...Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar \displaystyle \,v\, mellan 0 och \displaystyle \,\pi\, som uppfyller
| a) | \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} | b) | \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}} |
Övning 4.3:3
Antag att \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,a
| a) | \displaystyle \sin{(-v)} | b) | \displaystyle \sin{(\pi-v)} |
| c) | \displaystyle \cos{v} | d) | \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)} |
| e) | \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} | f) | \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)} |
Svar
Lösning a
Lösning b
Lösning c
Lösning d
Lösning e
Lösning f
Övning 4.3:4
Antag att \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, och att \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,b
| a) | \displaystyle \sin^2{v} | b) | \displaystyle \sin{v} |
| c) | \displaystyle \sin{2v} | d) | \displaystyle \cos{2v} |
| e) | \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} | f) | \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} |
Svar
Lösning a
Lösning b
Lösning c
Lösning d
Lösning e
Lösning f
Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel \displaystyle \,v\, i en triangel gäller att \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \displaystyle \,\cos{v}\, och \displaystyle \,\tan{v}\,.
Svar
Lösning
Övning 4.3:6
| a) | Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,. |
| b) | Bestäm \displaystyle \ \cos{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \displaystyle \,v\, ligger i den andra kvadranten. |
| c) | Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \cos{v}\ om \displaystyle \ \tan{v}=3\ och \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,. |
Övning 4.3:7
Bestäm \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ om
| a) | \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
| b) | \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
| a) | \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v} |
| b) | \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v} |
| c) | \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u} |
| d) | \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v |
Övning 4.3:9
| Visa "Morries formel" | |
| (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \displaystyle \,\sin 160^\circ\,.) |
Lösning
